Дальність польоту, максимальна висота, час падіння

Розглянемо наведену вище задачу. Тiло кидають праворуч зi швидкiстю $$\upsilon_0$$ пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту. Виведімо формули для дальностi польоту $$L,$$ максимальної висоти пiдйому $$H,$$ часу пiдняття на максимальну висоту $$t^\prime$$ й запишімо рівняння руху та проекцій швидкостей.

Запишемо рiвняння руху та проекцiй швидкостей. Проекцiя на вiсь . Система координат обрана таким чином, що x0=0x_0 = 0. У напрямку осi xx швидкiсть постiйна i дорiвнює проекцiї початкової швидкостi. Проекцiя початкової швидкостi υ0x=υ0cosα.\upsilon_{0x} = \upsilon_0 \cos \alpha.

{x=υ0cosαtυx=υ0cosα\begin{cases} x = \upsilon_0 \cos \alpha \cdot t \\ \upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha \end{cases}

Проекцiя на вiсь . Система координат обрана таким чином, що y0=0y_0 = 0. У напрямку осі yy швидкiсть змiнна, на неї впливає прискорення g\vec{g}, спрямоване протилежно до напрямку вiсi. Проекцiя початкової швидкостi υ0y=υ0sinα.\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin \alpha.

$$\begin{cases} y = \upsilon_0 \sin \alpha \cdot t - \dfrac{gt^2}{2}\\ \upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt \end{cases}$$

  1. Час польоту i час пiдняття тiла.

  2. Дальнiсть польоту $$L$$ дорiвнює координатi $$x$$ в той момент, коли координата $$y = 0$$ (в момент приземлення тiла). Прирiвнявши $$y(t) = 0$$, можна вiднайти час польоту тiла $$T.$$

  3. $$0 = \upsilon_0 \sin \alpha · T - \dfrac{gT^2}{2}$$

  4. $$T(\dfrac{g}{2}T - \upsilon_0 \sin \alpha) =$$$$ 0 \Rightarrow \dfrac{g}{2}T - v_0 \sin \alpha $$$$= 0$$

  5. Час польоту тiла:

  6. Ми з вами в попередньому розділі доводили те, що час пiдняття тiла дорiвнює часові спуску. Отже, час пiдняття дорiвнює половинi часу польоту тiла.

  7. Час пiдняття тiла:

  8. Дальнiсть польоту тiла.

  9. Як вже було зазначено у попередньому пунктi, $$L = x(t) = \upsilon_0 \cos \alpha \cdot T$$. Пiдставивши час польоту $$T$$ iз попереднього пункту, отримаємо:

  10. $$L = \dfrac{2 v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$$

  11. Iз тригонометрiї: $$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2 \alpha.$$

  12. Максимальна висота.

  13. Максимальна висота $$H$$ – координата $$y$$ в момент часу $$t = t'$$ (час пiдйому).

  14. $$H = y(t^\prime) = \upsilon_0 \sin \alpha \cdot t^\prime - \dfrac{gt'^2}{2}$$

  15. Пiдставимо $$t^\prime = \dfrac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g}$$ iз попереднього пункту:

  16. $$H - \dfrac{\upsilon_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \dfrac{\upsilon_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$$

  17. Максимальна висота:

Задача 2 ПЕТРО ТА ГАРМАТА

Петро знайшов на подвір'ї $$152$$-мм гаубицю, взяв із собою та повiз у велике поле, де можна безпечно розважатися з такою «iграшкою». Спершу, він націлив гармату пiд кутом $$30^\circ$$, вистрiлив i виміряв час польоту снаряда $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$ Маючи цi данi, вiн вирахував швидкiсть снаряда. Потiм Петро вистрiлив пiд кутами $$60^\circ$$ та $$45^\circ$$ i порiвняв дальностi польотів снарядiв кожного з трьох кутiв, пiд якими стрiляв. Вiн визначив кут із найбільшою дальністю, а потiм в загальному випадку довiв, що саме за такого кута дальнiсть польоту має бути максимальна. Для цього ж кута Петро також визначив максимальну висоту пiдняття снаряда. Задоволений даними, які одержав, вiн забрав гармату додому. Що ж, відтворімо експеримент Петра.

Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язання.Щоб відтворити експерименти, будемо використовувати формули, я.Швидкiсть снарядаКут $$\alpha = 30^\circ$$, час польоту $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$$$T = \dfrac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g} \Rightarrow$$$$ \upsilon_0 = \dfrac{gT}{2\sin\alpha} =$$$$ \dfrac{9.8 \cdot 24.3}{2 \cdot \sin 30^\circ} \approx$$$$ 238.1 \ (\text{м/с})$$Дальність польотуДальнiсть польоту обраховуємо за формулою:$$L = \dfrac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}$$$$(1)$$Для кутiв $$30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$$ вiдповiдно:$$L_1 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км};$$$$ \ L_2 \approx 5800 \thinspace \text{м} = 5.8 \thinspace \text{км};$$$$ \ L_3 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км}$$Порiвнявши, бачимо, що за $$45^\circ$$ дальнiсть польоту найбiльша. Але це була вибiрка з трьох кутiв. У загальному випадку легко показати, що саме за умови, що кут дорівнює $$45^\circ$$, дальнiсть польоту максимальна. $$L$$ у формулi $$(1)$$ буде максимальна, якщо $$\sin 2 \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ.$$Максимальна висотаМаємо кут $$\alpha = 45^\circ$$ та формулу для визначення максимальної висоти:$$H = \dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g} =$$$$ \dfrac{238.1^2 \sin^2 45^\circ}{2 · 9.8} \approx 1450 \ (\text{м})$$Вiдповiдь.Швидкiсть снаряда$$T = \dfrac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g} \Rightarrow$$$$ \upsilon_0 = \dfrac{gT}{2\sin\alpha} =$$$$ \dfrac{9.8 \cdot 24.3}{2 \cdot \sin 30^\circ} \approx$$$$ 238.1 \ (\text{м/с})$$Дальність польоту$$L = \dfrac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}$$$$L_1 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км};$$$$ \ L_2 \approx 5800 \thinspace \text{м} = 5.8 \thinspace \text{км};$$$$ \ L_3 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км}$$Максимальна висота$$H = \dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g} =$$$$ \dfrac{238.1^2 \sin^2 45^\circ}{2 · 9.8} \approx 1450 \ (\text{м})$$

Тіло кинули під кутом $$50^\circ$$ та воно пролетіло певну відстань. Під яким ще кутом можна кинути тіло, щоб воно пролетіло таку саму відстань? $$30^\circ$$ $$35^\circ$$ $$40^\circ$$ $$60^\circ$$

Користуючись тригонометричною формулою зведення: $$\sin 2 \cdot 50^\circ =$$$$ \sin 100^\circ =$$$$ \cos 10^\circ =$$$$ \sin 80^\circ \Rightarrow \sin 2 \alpha =$$$$ 80^\circ \Rightarrow$$$$ \sin \alpha = 40^\circ .$$