Рівномірний рух по колу

Визначення Рiвномiрний рух по колу – рух по колу з постiйною за модулем швидкiстю. Під час такого руху ми маємо лише доцентрове прискорення, адже модуль швидкостi – незмiнний протягом всього руху. Тангенцiальне прискорення $$a_T = 0$$.

На рисунку зображено рiвномiрний рух тiла по колу та положення точки у два моменти часу t1t_1 та t2t_2.

Основнi характеристики та величини:

  1. Перiод обертання $$T \thinspace (c)$$ – час, за який тiло здiйснює повний оберт. Якщо за деякий час $$t$$ було здiйснено $$N$$ обертiв, то перiод:

    $$T = \dfrac{t}{N}$$

  2. Частота обертання $$\nu \thinspace (c^{-1}, \thinspace Гц)$$ – кiлькiсть повних обертiв, якi здiйснить тiло за одиницю часу. Якщо за деякий час $$t$$ було здiйснено $$N$$ обертiв, то частота:

    $$\nu = \dfrac{N}{t} = \dfrac{1}{T}$$

  3. Кут повороту $$\Delta \varphi$$ (рад) – кут, на який повертається радiус кола, спрямований з центра до дослiджуваної точки за час руху тiла $$\Delta t$$. У секцiї $$1$$ ми розглядали зв’язок кута в радiанах із довжиною дуги та радiусом кола.

    $$\varphi = \dfrac{l}{R} \Rightarrow l = R \varphi$$

  4. Лiнiйна швидкiсть $$\upsilon$$ (м/с) – дорiвнює довжинi дуги, яку проходить тiло за одиницю часу $$t$$. Лiнiйна швидкiсть завжди спрямована по дотичнiй до траєкторiї, а у випадку рiвномiрного руху по колу рiвна за модулем у кожнiй точцi. Тiло здiйснює повний оберт, тобто проходить довжину дуги, що дорiвнює довжинi кола, за час $$T$$ (перiод). Довжина кола $$L = 2 \pi R$$.

    $$\upsilon = \dfrac{L}{T} = \dfrac{2 \pi R}{T} = 2 \pi \nu R$$

  5. Кутова швидкiсть $$\omega \thinspace \text{(рад/с)}$$ – дорiвнює вiдношенню кута повороту до часу $$\Delta t$$, за який цей поворот було здiйснено. Повний оберт вiдповiдає кутові повороту $$2 \pi$$. Час, за який здiйснюється повний оберт, – перiод $$T$$.

    $$\omega = \dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \dfrac{2 \pi}{T} = 2 \pi \nu$$

  • Зв’язок мiж лiнiйною та кутовою швидкiстю Якщо порiвняти одержані вирази для лiнiйної $$(\upsilon = 2 \pi \nu R)$$ та кутової швидкості $$(\omega = 2 \pi \nu)$$, видно, що зв’язок мiж цими швидкостями:

    $$\upsilon = \omega R$$

    Цей вираз також випливає зі зв’язку кута повороту з довжиною дуги i радiусом:

    $$l = R \varphi \Rightarrow |: t \ | $$$$\Rightarrow \dfrac{l}{t}$$$$ = R \dfrac{\varphi}{t} \Rightarrow | \thinspace \upsilon $$$$= \dfrac{l}{t}, \thinspace \omega $$$$= \dfrac{\varphi}{t} \thinspace | $$$$\Rightarrow \upsilon$$$$ = \omega R$$

  • Доцентрове прискорення $$a_Д \thinspace (\text{м/c}^2)$$ – прискорення, що в будь-якiй точцi спрямоване перпендикулярно до швидкостi. Під час рівномірного руху по колу радiуса $$R$$ зi швидкiстю $$\upsilon.$$$$a_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ Якщо цiкавитесь детальним виведенням цiєї формули, розберiть наступний пiдрозділ.

Задача 1 ПЕТРО ТА КОМАХА

Кулька на нитці завдовжки $$1.2$$ метра здiйснює рiвномiрний рух по колу. Кут мiж ниткою та вертикаллю дорiвнює $$30^\circ$$. Петро за допомогою годинника визначив, що кулька робить $$60$$ обертiв за пiвхвилини. Знайти: перiод обертання кульки, частоту, лiнiйну та кутову швидкiсть, доцентрове прискорення.

Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язання.Перш за все, час спостерiгання $$0.5$$ хв потрiбно перевести у СI: $$0.5$$ хв $$= 30$$ с.

По-друге, для подальших дiй нам потрiбно знати радiус кола.

$$\sin \alpha = \dfrac{R}{L} \Rightarrow R = L \cdot \sin \alpha = 1.2 \cdot \dfrac{1}{2} = 0.6 \thinspace (\text{м})$$

Перiод обертання кульки дорiвнює часові спостерiгання, подiленому на кiлькiсть здiйснених обертiв:

$$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{30}{60} = 0.5 \thinspace (\text{c})$$

Частота – обернена до перiоду величина$$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0.5} = 2 \thinspace (\text{c}^{-1})$$

Лiнiйну швидкiсть визначають як вiдношення пройденого шляху до часу, за який було подолано цей шлях. Повний оберт долається за перiод $$T$$:

$$\upsilon = \dfrac{2 \pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14 \cdot 0.6}{0.5} \approx 7.5 \thinspace (\text{м/с})$$

Кутова швидкiсть дорiвнює вiдношенню кута повороту до часу, за який цей кут було подолано. Кут повороту для повного оберту $$2 \pi$$, вiдповiдний час – $$T$$.$$\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14}{0.5} \approx 12.6 \thinspace (\text{рад/с})$$

Доцентрове прискорення:$$a_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R} = \dfrac{7.5^2}{0.6} \approx 93.8 \thinspace (\text{м/с}^2)$$

Вiдповiдь.

  • Перiод обертання кульки:$$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{30}{60} = 0.5 \thinspace (\text{c})$$

  • Частота:$$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0.5} = 2 \thinspace (\text{c}^{-1})$$

  • Лiнiйна швидкiсть:

  • $$\upsilon = \dfrac{2 \pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14 \cdot 0.6}{0.5} \approx 7.5 \thinspace (\text{м/с})$$

  • Кутова швидкiсть:$$\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14}{0.5} \approx 12.6 \thinspace (\text{рад/с})$$

  • Доцентрове прискорення:$$a_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R} = \dfrac{7.5^2}{0.6} \approx 93.8 \thinspace (\text{м/с}^2)$$