Важливі приклади

Зараз ми розглянемо два дуже важливi типи завдань з теми рiвномiрного руху по колу та пiдходи до розв’язання таких задач.

1. Швидкiсть рiзних точок на колесi

На ЗНО дуже часто трапляються завдання на комбiнування двох видiв руху: поступального та обертального. Важливий факт: якщо точка рухається поступально зi швидкiстю υп\vec{\upsilon_п} та обертально з лiнiйною швидкiстю υо\vec{\upsilon_о}, то результуюча швидкiсть точки:

$$\vec{\upsilon_{ }} = \vec{\upsilon_п} + \vec{\upsilon_о}$$

Розгляньмо приклад. Автомобiль рухається рiвномiрно по горизонтальнiй дорозi без проковзування зi швидкiстю $$\vec{\upsilon}$$. Визначити швидкостi вказаних точок.

  • Почнімо з точки крiплення колеса (вiсь обертання). Оскільки вiсь прикрiплена до автомобiля, то її швидкiсть дорівнює швидкостi автомобiля.

    $$\upsilon_о = \upsilon$$

  • Тепер розгляньмо першу точкуШвидкiсть цiєї точки складається з лiнiйної швидкостi обертання колеса $$\vec{\upsilon_{о}}$$, спрямованої ліворуч та поступальної швидкостi $$\vec{\upsilon}$$, спрямованої праворуч:

    $$\vec{\upsilon_1} = \vec{\upsilon_{о}} + \vec{\upsilon_{ }}$$

    З iншого боку, не дарма те, що колесо рухається без проковзування, в умовi виокремлено жирним. Це означає, що в системi вiдлiку «Земля» ця точка прив’язана до неї, тобто нерухома. Отже, розглядаючи модулі швидкостей одержуємо:

    $$\upsilon_1 = 0 \Rightarrow \vec{\upsilon_{о}} = \vec{\upsilon_{ }}$$

    $${\Large!}$$ Важливо пам’ятати: що якщо точка дотикається до якоїсь поверхнi i при цьому сказано, що вона рухається без проковзування, то швидкiсть цiєї точки дорiвнює швидкостi цiєї поверхнi.

  • Друга точка.Швидкостi обертального та поступального руху спрямовані вправо. Також з попереднього пункту ми знаємо, що швидкiсть обертання дорiвнює швидкостi поступального руху:

    $$\vec{\upsilon_2} = \vec{\upsilon_{о}} + \vec{\upsilon_{ }} \Rightarrow \upsilon_2 = 2\upsilon$$

  • Третя точка.Швидкiсть обертального руху спрямована вертикально вгору. Швидкiсть поступального руху, як завжди, – праворуч. Векторну суму можна знайти? за правилом паралелограма. Модуль кінцевого/остаточного вектора можна знайти за допомогою теореми Пiфагора:

    $$\upsilon_3 = \sqrt{\upsilon^2 + \upsilon^2} = \upsilon \sqrt{2}$$

  • Четверта точка.Швидкiсть обертального руху спрямована по дотичнiй до поверхнi колеса. Швидкiсть поступального руху – вправо. Iз геометрiї кут мiж векторами $$= 45^\circ$$. За допомогою теореми косинусiв:

    $$\upsilon_4 = \sqrt{\upsilon^2 + \upsilon^2 - 2 \upsilon \cdot \upsilon \cdot \cos (135^\circ)} \approx 1.85v$$

  • Будь-яка точка. Результуюча швидкiсть будь-якої точки – це векторна сума швидкостi обертання та поступальної швидкостi. Головне спочатку визначит, куди i яка з цих швидкостей спрямована.

2. Шкiви та шестернi рiзних радiусiв

Ще один поширений тип задач стосується з’єднаних механiзмiв, що обертаються. Цi механiзми мають рiзнi радiуси (або у випадку шестерень – рiзну кiлькiсть зубцiв) та, вiдповдно, рiзнi перiоди обертання.

Потрiбно розумiти тільки двi речi для вирiшення таких задач:

  • Точки, що обертаються на рiзних тiлах (рiзних радiусiв, наприклад) та поєднанi мiж собою за допомогою дроту (як на цьому рисунку), або перебувають у безпосередньому без проковзування, мають однакову швидкiсть.$$\upsilon_2 = \upsilon_3 \Rightarrow \dfrac{R_2}{T_2} = \dfrac{R_3}{T_3}$$ або $$R_2 \nu_2 = R_3 \nu_3$$

  • Частини (наприклад, рiзного радiуса) одного i того самого тiла мають однаковi кутовi швидкостi, адже кут повороту за промiжок часу однаковий для всiх точок на тiлi.$$\omega_3 = \omega_4 \Rightarrow T_3 = T_4$$$$\omega_1 = \omega_2 \Rightarrow T_1 = T_2$$