Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху

Розглядаючи рівномірний прямолінійний рух, ми з вами встановили, що площа фігури, обмеженої графіком υx(t)\upsilon_x(t), віссю часу та лініями t=t1t=t_1 і t=t2t=t_2, дорівнює проекції переміщення, яке здійcнило тіло за цей проміжок часу.

Погляньмо на площу потрібної фігури на графіку υx(t)\upsilon_x(t) для рівноприскореного прямолінійного руху.

Проекція переміщення: Sx=Sтрикутника+SпрямокутникаS_x = S_{\text{трикутника}} + S_{\text{прямокутника}}

Sтрикутника=ha2S_{\text{трикутника}} = \dfrac{h\cdot a}{2} =(υxυ0x)(t2t1)2= \dfrac{(\upsilon_x-\upsilon_{0x})(t_2-t_1)}{2} =(υxυ0x)Δt2=\dfrac{(\upsilon_x-\upsilon_{0x})\Delta t}{2} =(υxυ0x)ΔtΔt2Δt= \dfrac{(\upsilon_x-\upsilon_{0x})\Delta t\cdot\Delta t}{2\Delta t} =aΔt22=\dfrac{a\Delta t^2}{2}

Sпрямокутника=(υxυ0x)(t2t1)S_{\text{прямокутника}} = (\upsilon_x-\upsilon_{0x})(t_2-t_1) =υ0x(t2t1)=\upsilon_{0x}(t_2-t_1)=υ0xΔt= \upsilon_{0x}\Delta t \RightarrowSx=υ0xΔt+aΔt22\boxed{S_x=\upsilon_{0x}\Delta t + \dfrac{a \Delta t^2}{2}}

Проекція переміщення дорівнює різниці між координатами початку руху і кінця руху Sx=xx0\rightarrow S_x=x - x_0, підставляючи цей вираз у вираз для переміщення, отримуємо рівняння рівноприскореного прямолінійного руху.

Визначення Проекція переміщення на вісь $$x:$$ \[S_x = \upsilon_{0x}t +\dfrac{at^2}{2}\] Проекція швидкості на вісь $$x:$$ \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}+at\] Рівняння рівноприскореного прямолінійного руху: \[x(t)=x_0+\upsilon_{0x}t+\dfrac{at^2}{2}\] $$x(t)$$ – координата тіла у момент часу $$t$$; $$x_0$$ – початкова координата тіла; $$\upsilon_{0x}$$ – проекція початкової швидкості на вісь $$x$$; $$a_x$$ – проекція прискорення на вісь $$x$$.

Як видно, залежність x(t)x(t) – квадратична, тобто присутній член t2t^2. Вид цієї функції – параболічний (iз видами функцій ви можете детально ознайомитись в курсі з математики).

Задача 2 ГАЛЬМУВАННЯ АВТОМОБІЛЯ

Міністерство транспорту у м. Київ вирішило провести дослідження, як саме величина гальмівного шляху в залежить від швидкості автомобіля. Так як різні машини гальмують по-різному, було вирішено знайти відношення величин гальмівного шляху для двох різних початкових швидкостей $$\upsilon'_{0x}$$ та $$\upsilon''_{0x}$$, тобто $$\dfrac{l''}{l'}$$. Вважайте, що прискорення, з яким автомобіль рухається під час гальмування, однакове в обох випадках.

Дано: $$\upsilon'_{0x}, \ \upsilon''_{0x}, \ a'_x=a''_x$$

Знайти: $$\dfrac{l''}{l'}$$

Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиСпрямуймо вісь $$x$$ у бік руху, тоді $$\upsilon_{0x}>0, \ a_xРозв’язання.Спрямуймо вісь $$x$$ у бік руху, тоді $$\upsilon_{0x}>0, \ a_xНехай модуль прискорення дорівнює $$a$$. Тоді $$a'_x=a''_x=-a$$. Помістимо початок координат у точку, з якої починаємо досліджувати гальмування $$x_0=0$$. Рівняння руху для обох випадків:\[l'=x'=\upsilon'_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}, \ l''=x''=\upsilon''_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}\]Щоб знайти час зупинки автомобіля, треба розв’язати рівняння швидкості (зупинка $$\rightarrow \upsilon_x=0$$):\[\upsilon_x=\upsilon_{0x}-at \Rightarrow 0=\upsilon_{0x}-at\Rightarrow t=\dfrac{\upsilon_{0x}}{a}\]Підставимо час у рівняння залежності координати від часу:\[x=\upsilon_{0x}\cdot\dfrac{\upsilon_{0x}}{a}-\dfrac{a\cdot\upsilon^2_{0x}}{2a^2}=\dfrac{\upsilon^2_{0x}}{a}-\dfrac{\upsilon^2_{0x}}{2a}=\dfrac{\upsilon^2_{0x}}{2a}\]Отже, відношення гальмівних шляхів дорівнює відношенню квадратів швидкостей:\[\dfrac{x''}{x'}=\dfrac{\upsilon''^2_{0x}}{\upsilon'^2_{0x}}\]Наприклад, гальмівний шлях для швидкості $$80$$ км/год приблизно в $$1.7$$ разів більший ніж для $$60$$ км/год.Вiдповiдь.Bідношення гальмівних шляхів дорівнює відношенню квадратів швидкостей:\[\dfrac{l''}{l'}=\dfrac{x''}{x'}=\dfrac{\upsilon''^2_{0x}}{\upsilon'^2_{0x}}\]Наприклад, гальмівний шлях для швидкості $$80$$ км/год приблизно в $$1.7$$ разів більший ніж для $$60$$ км/год.

Рух тіла описує рівняння $$x = 4 - 3t + 2t^2$$, де всі величини виражено в одиницях SI. Визначте проекцію швидкості тіла на вісь $$Ox$$ через 2 с після початку руху. -6 м/с 5 м/с 6 м/с 8 м/с

Порівняймо рівняння з умови з рівнянням одновимірного руху $$x = x_0 + \upsilon_{0}t + \dfrac{at^2}{2}$$. Отже, маємо $$\upsilon_0 = -3 \thinspace \text{м/с}, \, a = 4 \thinspace \text{м/с}^2$$, а формула для швидкості $$\upsilon = \upsilon_0 + at$$ матиме вигляд $$\upsilon = -3 + 4t$$ . Підставивши час 2 с знайдемо правильну відповідь $$\upsilon = 5 \thinspace \text{м/с}$$.