Середня швидкiсть

У школi та на ЗНО розглядають види задач, якi не мають аналога у реальному життi, але кориснi для засвоєння матерiалу. Так званий кусково-рiвномiрний рух. Розглядається рух тiла, під час якого стрибкоподiбно змiнюється швидкiсть. Наприклад, тiло стояло 2 с, потiм 3 с рухалось зi швидкiстю 2 м/с, потiм 2 с – зi швидкiстю 3 м/с. Виглядає це так:

Очевидно, що середня швидкiсть у данiй задачi не дорiвнює середньому арифметичному трьох швидкостей:

$$\upsilon_{сер} \not= $$$$ \dfrac{0 + 2 + 3}{3} = \dfrac{5}{3}$$

Визначення

Ceредня швидкiсть:

$$\vec{\upsilon}_\text{сер} = \dfrac{\vec{S}_\Sigma}{t_\Sigma} = \dfrac{\vec{S}_1 + \vec{S}_2 + \cdots + \vec{S}_n}{t_1+ t_2 + \cdots +t_n}$$

Ceредня шляхова швидкiсть:

$$\upsilon_\text{сер} =\dfrac{l_\Sigma}{t_\Sigma} =\dfrac{l_1 + l_2 + \cdots + l_n}{t_1+ t_2 + \cdots +t_n}$$

Тодi для даної задачi:

  • Промiжки часу: $$t_1 = 2 \thinspace c,\quad t_2 = 3 \thinspace c,\quad t_3 = 2 \thinspace c$$

  • Промiжки шляху: $$ l_1 = \upsilon_1 t_1,\quad l_2 = \upsilon_2t_2,\quad l_3 = \upsilon_3t_3$$

Середня швидкiсть:

$$\upsilon_\text{сер} $$$$= \dfrac{l_1 +l_2+l_3}{t_1+t_2+t_3}= \dfrac{0\cdot2+ 2\cdot 3 + 3\cdot 2}{2+3+2}=\dfrac{12}{7}=1\dfrac{5}{7}$$

Петро пробiг $$100$$ метрiв за $$15$$ секунд. Потiм зупинився перепочити на $$10$$ секунд, потім ще $$15$$ секунд бiг зi швидкiстю $$5$$ м/с. Яка середня швидкiсть Петра? $$4,5$$ м/с $$4,375$$ м/с $$4,2$$ м/с $$4$$ м/с

Проміжки пройдених шляхів $$l_1 = 100\,\text{м},\,\,\, l_2 = 0\,\text{м},\,\,\, l_3 = \upsilon_3t_3 = 5\cdot15 = 75\,\text{м}$$

Cередня швидкість $$\upsilon_\text{сер} = \dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{t_1 + t_2 + t_3} = \dfrac{100 + 0 +75}{15 + 10 + 15} = \dfrac{175}{40} = 4,375 \,\text{(м/с)}$$