Вертикальний рух пiд дiєю сили тяжiння

Закон всесвiтнього тяжiння – закон, що описує гравiтацiйну взаємодiю (притягання) тiл. Далі закон буде розглянуто детальніше.

Визначення Прискорення вiльного падiння $$\vec{g}$$ – прискорення, що отримує тiло внаслiдок гравiтацiйного притягання Землi.

Щоб спростити розв’язування кiнематичних задач:

  1. Бiля поверхнi Землi це прискорення вважають константою (хоча фiзично це прискорення залежить вiд багатьох факторiв).

  2. \[g \approx 9,8 \thinspace \dfrac{\text{м}}{\text{c}^2}\]

  3. Опором повiтря нехтують. За таких умов падiння тiла називають вiльним. Єдине прискорення, що дiє на тiло в такому випадку – прискорення $$\vec{g}$$, спрямоване вертикально вниз.

За вертикального руху в бiльшостi пiдручникiв вiсь спрямовують вгору. В такому випадку рiвняння руху виглядає таким чином:

$$x=x_0+\upsilon_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}$$

Є декiлька цiкавих фактiв, пов’язаних із рухом, за якого нехтують опором повiтря.

  1. Час пiдняття тiла з одного рiвня до iншого дорiвнює часові спуску з другого на перший.

    А. Петро пiдкидає м’яч вертикально вгору з початковою швидкiстю $$\upsilon_0$$. Рiвняння руху: \[x=x_0+\upsilon_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}\] Початкову точку приймімо за нуль, кiнцеву – $$H_{max}$$. \[H_{max} = \upsilon_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}\] Позначмо час пiдйому $$t'$$ i знайдімо його з умови, що швидкість у найвищій точці дорівнює нулеві: \[\upsilon(t')=\upsilon_0-gt'=0 \Rightarrow \boxed{t'=\dfrac{\upsilon_{0x}}{g}}\] Підставмо у вираз для $$H_{max}: H_{max} = \dfrac{\upsilon^2_{0x}}{2g}$$

    Б. Розгляньмо спуск м’яча. Тодi $$\upsilon_{0x}=0,x_0=H_{max}$$. Позначмо час спуску $$t''$$ i виразімо $$H_{max}$$ iз рiвняння руху: \[x(t'')=H_{max} - \dfrac{gt''^2}{2}=0\Rightarrow H_{max} =\dfrac{gt''^2}{2}\] Прирiвняймо $$H_{max}$$ з пунктiв А та Б: \[\dfrac{\upsilon^2_{0x}}{2g}=\dfrac{gt''^2}{2} \Rightarrow t''^2=\dfrac{\upsilon^2_{0x}}{g^2} \Rightarrow \boxed{t''=\dfrac{\upsilon_{0x}}{g}}\] Отже, справдi, час пiдйому з однiєї точки в iншу дорiвнює часові спуску.

  2. Модулi швидкостей тiла на визначеному рiвнi пiд час пiдйому та спуску рiвнi. Користуючись результатами попереднього пункту, ми вже визначили час спуску. Тодi швидкiсть у точцi, з якої починався рух, пiсля спуску: $$\upsilon_x(t'')=0-gt''=$$$$-g \cdot \dfrac{\upsilon_{0x}}{g}=$$$$ -\upsilon_{0x}$$ Знак мiнус вказує на те, що швидкiсть спрямована протилежно напрямку осi.

Збереження енергiї Обидва попереднi пункти можна було б отримати користуючись законом збереження енергiї (ви його розглядатимете далi в курсi). А поки дехто з вас не знає цього закону, подумайте логічно. За умови, що ми нехтуємо впливом опору повiтря та будь-яких стороннiх тiл, зрозуміло, що енергiя, яку надав м’ячу Петро, не може зникнути внiкуди $$\Rightarrow$$ Перебуваючи в фiзично однакових станах (висота), тіло мусить мати таку ж величину швидкості.

Петро жбурляє м’яч угору. Початкова швидкiсть \(\upsilon_0\) = 17,64 м/с. Прискорення вiльного падiння \(g\) = 9,8 \(\frac{м}{с^2}\). (a) Визначити максимальну висоту пiдняття м'яча над рiвнем, з якого Петро його кинув. 13,7 м 15,9 м 18,1 м 14,2 м $$H_{max}=\dfrac{\upsilon^{2}_0}{2g}=$$$$\dfrac{17,64 \cdot 17,64}{2 \cdot 9,8}=$$$$ 15,876 м$$

(b) Визначити тривалість руху м’яча до моменту, коли Петро його знову зловить. 3,6 c 3,2 c 2,5 c 1,8 c

Час пiдйому: $$t^\prime = \upsilon_0g = 17,64 \cdot 9,8= 1,8 \thinspace c$$

Повний час = час пiдйому + час спуску, з iншого боку час пiдняття = часові спуску.

Отже, повний час

$$t=2t^\prime=3,6 \thinspace c$$