Послідовне та паралельне з'єднання пружин

У задачах з пружинами використовують закон Гука. При цьому, на вiдмiну вiд розглянутої нами деформацiї твердих тiл, яку ми розглянули, тут використовується саме коефiцiєнт жорсткостi $$k$$. На рисунку зображено видовження пружини пiд дiєю сили $$\vec{F_{}}$$ та силу розтягу $$\vec{F_П}$$ (виникає внаслідок розтягу пружини), напрямлену протилежно до напрямку здiйснення видовження ($$x$$).

Комбiнацiя пружин з рiзними коефiцiєнтами жорсткостi $$k_1, k_2, \ldots , k_n$$ може бути замiненою однiєю еквiвалентною пружиною з певним коефіцієнтом жорсткості $$k$$. Для того, щоб вмiти робити такi операцiї, розглянемо паралельне та послiдовне з’єднання пружин.

  1. Паралельне з’єднання пружин.

  2. Нехай двi пружини з коефіцієнтамі жорсткості $$k_1$$ та $$k_2$$ з’єднанi паралельно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $$\vec{F_Т}$$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, двi сили пружностi $$\vec{F_1}$$ i $$\vec{F_2}$$.

  3. Модуль сили пружностi першої пружини: $$F_1 = k_1 x$$

  4. Модуль сили пружностi другої пружини: $$F_2 = k_2 x$$

  5. За другим законом Ньютона: $$\vec{F_Т} + \vec{F_1} + \vec{F_2} = 0 \Rightarrow F_Т = F_1 + F_2$$

  6. Коли ми замiнимо цю систему однiєю еквiвалентною пружиною з коефiцiєнтом жорсткостi $$k$$, то сила пружностi, яка в нiй виникне, буде дорiвнювати силi тяжiння:

  7. $$F = F_Т = kx$$

  8. Отже, якщо пружини з’єднанi паралельно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої є сумою коефiцiєнтiв кожної з пружин:

  9. $$kx = k_1 x + k_2 x \Rightarrow k = k_1 + k_2$$

  10. Послiдовне з’єднання пружин.

  11. Нехай двi пружини з $$k_1$$ та $$k_2$$ з’єднанi послiдовно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $$\vec{F_Т}$$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, сила пружностi $$F$$ в кожнiй з пружин. Це зрозумiло, якщо застосувати третiй закон Ньютона. Сила тяжiння спричиняє силу пружностi в першiй пружинi, яка дорiвнює силi тяжiння. З такою ж силою перша пружина дiє на другу, i в нiй виникає сила пружностi, яка також дорiвнює силi тяжiння. $$F_1 = F_2 = F$$

  12. Кожна пружина, внаслiдок дiї на них однакової сили, розтягується на рiзнi $$x_1$$ та $$x_2$$. Якщо систему послідовно з'єднаних пружин замінити однією еквівалентною, то видовження такої пружини $$x$$ повинно дорiвнювати сумi видовжень $$x_1$$ та $$x_2$$. Тепер отримаємо для кожної з пружин видовження та пiдставимо у наступну рівність $$x = x_1 + x_2$$.

  13. Видовження першої пружини: $$x_1 = \dfrac{F}{k_1}$$

  14. Видовження другої пружини: $$x_2 = \dfrac{F}{k_2}$$

  15. Видовження еквiвалентної пружнии: $$x = \dfrac{F}{k}$$

  16. Пiдставляємо в $$x = x_1 + x_2$$:

  17. $$\dfrac{F}{k} = \dfrac{F}{k_1} + \dfrac{F}{k_2} \Rightarrow \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k_1} \dfrac{1}{k_2}$$

  18. Отже, якщо пружини з’єднанi послiдовно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої можна розрахувати за допомогою зазначеної вище.

Пружину жорсткістю $$250$$ Н/м стискають з силою $$4$$ Н. Знайдіть зміну довжини пружини. 1,6 м 6 м 6 см 1,6 см Закон Гука: $$F = k \Delta x$$ Тобто: $$\Delta x = \dfrac{F}{k} = $$$$\dfrac{4}{250} = $$$$0,016 \thinspace \text{м}$$ Пружину стиснули на $$1,6$$ см.