Кiнетична енергiя

Щоб детальнiше зрозумiти концепцiю енергiї, розгляньмо приклад.

Нехай машина масою $$m$$ розганяється зi швидкостi $$\upsilon_1$$ до $$\upsilon_2$$ протягом відстані $$d$$ пiд дiєю постiйної результуючої сили $$d$$:

Iз другого закону Ньютона:

$$F = ma$$

Розгляньмо кiнематику процесу.

Рiвняння швидкостi:

$$\upsilon_2 =$$$$ \upsilon_1 + at \Rightarrow t =$$$$ \dfrac{\upsilon_2 - \upsilon_1}{a}$$

Рiвняння руху:

$$x =$$$$ x_0 + \upsilon_1 t + \dfrac{at^2}{2}$$$$ \Rightarrow d =$$$$ \upsilon_1 t + \dfrac{at^2}{2}$$

Пiдставмо вираз для $$t$$ в рiвняння руху:

$$d - \upsilon_1 \cdot \dfrac{\upsilon_2 - \upsilon_1}{a}$$$$ + \dfrac{(\upsilon_2 - \upsilon_1)^2}{2a}$$$$ - \dfrac{2 \upsilon_1(\upsilon_2 - \upsilon_1)}{2a}$$$$ + \dfrac{(\upsilon_2 - \upsilon_1)^2}{2a}$$

Винесімо $$(\upsilon_2 - \upsilon_1)$$ за дужки:

$$d =$$$$ \dfrac{(\upsilon_2 - \upsilon_1)(2\upsilon_1 + \upsilon_2 - \upsilon_1)}{2a}$$$$ = \dfrac{(\upsilon_2 - \upsilon_1)(\upsilon_2 + \upsilon_1)}{2a} =$$$$ \dfrac{\upsilon_2^2 - \upsilon_1^2}{2a}$$

Із визначення роботи:

$$A =$$$$ Fd =$$$$ mad$$

Пiдставмо отримане вище $$d$$:

$$A =$$$$ ma \dfrac{\upsilon_2^2 - \upsilon_1^2}{2a} =$$$$ m \dfrac{\upsilon_2^2 - \upsilon_1^2}{2}$$

$$A =$$$$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2} - \dfrac{m \upsilon_1^2}{2}$$

Так ми дiйшли до визначення кiнетичної енергiї.

ВизначенняКiнетична енергiя (kinetikos – рух) – енергiя руху тiла.

$$E_к =$$$$ \dfrac{m \upsilon^2}{2}$$

Як бачимо, енергiя має таку саму розмiрнiсть, як i робота – Дж. Також зрозумiле стає i визначення енергiї. Тiло, маючи певну кiнетичну енергiю, може виконати роботу. Наприклад, кiнетична енергiя молотка, яким ми вбиваємо цвях, переходить в енергiю цвяха (виконується робота).

Тепер ми можемо також переписати формулу для роботи:

$$A =$$$$ K_2 - K_1 =$$$$ \Delta K$$

Теорема про кiнетичну енергiю: робота, що виконана результуючою силою, прикладеною до тiла, дорiвнює змiнi його кiнетичної енергiї.

Важливо розумiти, що в цiй теоремi йдеться саме про результуючу силу, тобто про сумарну роботу, яку виконано над тiлом.

Нехай ви з постiйною швидкiстю $$\upsilon$$ піднімаєте тіло вгору вгору, прикладаючи силу $$\vec{F}$$.

Чому дорiвнює сумарна робота, яку було виконано над тiлом протягом піднімання на висоту $$h$$? З теореми, що маємо вище, виходить, що сумарна робота дорiвнює нулеві, адже $$\upsilon_2 =$$$$ \upsilon_1 =$$$$ \upsilon = const$$. Не вiриться? Перевiрмо.

Із другого закону Ньютона:

$$F - mg = 0$$$$ \thinspace (v = const; \thinspace a = 0) \Rightarrow$$$$ F = mg$$

Робота, яку виконуєте ви, прикладаючи силу $$F$$, додатня i дорiвнює:

$$A_1 =$$$$ Fh =$$$$ mgh$$

Робота, яку виконує сила тяжiння, вiд’ємна, адже сила тяжiння дiє в протилежному напрямку від вектора перемiщення:

$$A_2 =$$$$ -mgh$$

Ось i виходить, що сумарна робота дорiвнює нулеві:

$$A_{\Sigma} =$$$$ A_1 + A_2 =$$$$ 0$$