Закон збереження механiчної енергiї

Тепер, комбiнуючи знання про роботу та види енергiй, ми з легкiстю дійдемо до поняття повної механiчної енергiї. Знову звернімося до прикладу з силою тяжiння:

Тiло рухається пiд дiєю сили тяжiння. На висотi $$h_1$$ має швидкiсть $$\upsilon_1$$, на висотi $$h_2$$ – $$\upsilon_2$$.

  • Згiдно з теоремою про кiнетичну енергiю (підрозділ $$7.2.1$$), робота, яку виконує сила тяжiння, дорiвнює рiзницi кiнетичних енергiй тiла в кiнцевому та початковому станах:

  • $$A =$$$$ E_{К2} - E_{К1} =$$$$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2}$$$$ - \dfrac{m \upsilon_1^2}{2}$$

  • Роботу сили тяжiння можна одержати i за допомогою потенцiальної енергiї (попереднiй підрозділ). Тут навпаки: початковий стан – кiнцевий:

  • $$A =$$$$ E_{П2} - E_{П1} =$$$$ mgh_1 - mgh_2$$

Прирiвнявши вирази для роботи, маємо:

$$\dfrac{m \upsilon_2^2}{2} - \dfrac{m \upsilon_1^2}{2} =$$$$ mgh_1 - mgh_2 \Rightarrow $$$$ \dfrac{m \upsilon_1^2}{2} + mgh_1 =$$$$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2} + mgh_2$$

ВизначенняПовна механiчна енергiя – сума потенцiальної енергiї та кiнетичної енергiй тiла.

$$E =$$$$ \dfrac{m \upsilon^2}{2} + mgh$$

Повна механiчна енергiя системи тiл – це сума повних енергiй усiх тiл, що входять у систему.

Закон збереження повної механiчної енергiї: У полi консервативних сил сума кiнетичної та потенцiальної енергiй залишається постiйною.

$$E_1 =$$$$ E_2 =$$$$ E =$$$$ const$$

Задача 2 АМЕРИКАНСЬКI ГIРКИВiзок американських гiрок починає зiсковзувати з висоти $$H$$ з нульовою початковою швидкiстю. На якiй висотi $$h$$ візок матиме швидкiсть рiвно втричі меншу, нiж у найнижчiй точцi? Для розрахункiв силою тертя мiж вiзком та гiркою можна знехтувати.

Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язання.Для початку розпишімо повну механiчну енергiю для кожної з точок.

  1. В умовi сказано, що початкова швидкiсть нульова $$\rightarrow E_{К1} =$$$$ 0$$. Натомiсть вiзок розташований на висотi $$H$$ вiд нульового рiвня, який вiдповiдає найнижчiй точцi (наш вибiр). Отже, потенцiальна енергiя: $$E_П =$$$$ mgH$$, а повна енергiя:$$E_1 =$$$$ E_П =$$$$ mgH$$

  2. У найнижчiй точцi (нульовий рiвень) потенцiальна енергiя дорiвнює нулеві: $$E_П =$$$$ 0$$. З iншого боку, саме в цiй точцi вiзок набуває максимальної швидкостi, адже вся потенцiальна енергiя перейшла в кiнетичну. Повна енергiя:$$E_2 =$$$$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2}$$

  3. У третiй точцi вiзок має i кiнетичну, i потенцiальну енергiю. Повна енергiя:$$E_3 =$$$$ mgh + \dfrac{m \upsilon_3^2}{2}$$

Визначмо швидкiсть вiзка у другiй точцi, використовуючи закон збереження повної механiчної енергiї:

$$E_1 =$$$$ E_2 \Rightarrow $$$$ mgH = $$$$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2} \Rightarrow $$$$ \upsilon_2 = $$$$ \sqrt{2gH}$$

З умови в третiй точцi швидкiсть утричі менша за швидкiсть у другiй точцi: $$\upsilon_3 =$$$$ \dfrac{\upsilon_2}{3} =$$$$ \dfrac{\sqrt{2gH}}{3}$$. Скористаймось законом збереження енергiї для першого та третього випадку (могли i для другого та третього):

$$E_1 =$$$$ E_3 \Rightarrow $$$$ mgH = $$$$ mgh + \dfrac{m \upsilon_3^2}{2} \Rightarrow $$$$ h = $$$$ \dfrac{gH - \dfrac{\upsilon_3^2}{2}}{g}$$

Пiдставимо $$\upsilon_3$$, яку одержали вище:

$$h = $$$$ H - \dfrac{H}{9} = $$$$ \dfrac{8H}{9}$$

Вiдповiдь.

$$h = $$$$ H - \dfrac{H}{9} = $$$$ \dfrac{8H}{9}$$

Задача 3 МЕРТВА ПЕТЛЯВiзок на американських гiрках починає зiсковзувати вниз з нульовою початковою швидкiстю. Попереду його чекає мертва петля. З якої мiнiмальної висоти $$H_{min}$$ можна вiдпустити вiзок, щоб вiн все ж таки здiйснив повний оберт у петлi?

Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Для початку порахуймо, має бути мiнiмальна лiнiйна швидкiсть вiзка, щоб вiн не «вiдiрвався» у верхнiй точцi. Ми це робили, розглядаючи динаміку руху тiла по колу, але згадаймо ще раз. У верхнiй точцi на вiзок дiють двi сили: сила тяжiння $$mg$$ та сила реакцiї опори $$N$$. Обидвi – вертикально вниз. Вiзок вiдiрветься в той момент, коли сила реакцiї опори стане рiвною нулеві: це означатиме, що вiзок нiяк не тисне на опору. Доцентрове прискорення у верхнiй точцi також спрямоване вертикально вниз. Другий закон Ньютона:

$$mg + N = $$$$ m a_д \quad $$$$ | \thinspace N \ge 0 \thinspace | $$$$ \quad m a_д \ge mg$$

$$a_д = $$$$ \dfrac{\upsilon^2}{R} \Rightarrow \upsilon^2 \ge gR$$

Тепер можемо скористатися законом збереження повної механiчної енергiї. Повна енергiя на висотi $$H$$ з нульовою швидкiстю:

$$E =$$$$ mgH$$

Повна енергiя у верхнiй точцi мертвої петлi на висотi $$2R$$ зі швидкістю $$\upsilon$$:

$$E = $$$$ 2mgR + \dfrac{m \upsilon^2}{2}$$

Пiдставмо мiнiмальну отриману мiнiмальну швидкiсть, яку одержали, та прирiвняємо повнi енергiї:

$$mgH_{min} =$$$$ 2mgR =$$$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H_{min} =$$$$ \dfrac{5gR}{2}$$

Вiдповiдь.$$mgH_{min} =$$$$ 2mgR =$$$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H_{min} =$$$$ \dfrac{5gR}{2}$$