Тiло на похилiй площинi

Багато задач стосуються тiл, якi розташовані на похилiй площинi.

Розберімося з цим типом завдань на конкретних експериментах.

Експеримент 1: як визначити коефiцiєнт тертя?

Нехай ми маємо тiло та похилу площину, кут нахилу якої ми можемо змiнювати, i метрична лiнiйка.

Повiльно збiльшуючи кут нахилу площини, спостерiгаємо за поведiнкою тiла. Досягнувши певного кута $$\alpha$$ тiло зрушиться i почне «сповзати» вниз. Розберемося у цьому переломному моменті. Фактично, момент початку руху означає, що сила тертя вже дорiвнює своєму максимальному значенню $$\mu N$$. Вiсь $$x$$ в цьому випадку дуже зручно розмiстити вздовж поверхнi, тодi вiсь $$y$$ – перпендикулярна i напрямлена вздовж напрямку сили реакцiї опори $$\vec{N}$$. Вважаємо, що в момент початку руху прискорення ще дорiвнює нулеві.

Другий закон Ньютона:

$$m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F_T} = 0$$

Вiсь $$x$$ :

$$mg \sin \alpha - F_T = 0 \Rightarrow F_T = mg \sin \alpha$$

Вiсь $$y$$ :

$$-mg \cos \alpha + N = 0 \Rightarrow N = mg \cos \alpha$$

Згадаємо, що в момент зрушення тiла $$F_T = \mu N$$. Пiдставимо у вираз для сили тертя:

$$\mu N = mg \sin \alpha \Rightarrow$$$$ \mu mg \cos \alpha =$$$$ mg \sin \alpha \Rightarrow$$$$ \mu = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =$$$$ tg\ \alpha$$

Ми отримали вираз для коефiцiєнта тертя. Тепер, використавши лiнiйку, яку ми мали, можемо використати те, що тангенс дорiвнює протилежному катету, подiленому на прилеглий.

Важливо $${\Large!}$$ Коефiцiєнт тертя не залежить вiд маси тiла та площi стику поверхонь.

Коефiцiєнт тертя залежить лише вiд матерiалiв стикових поверхонь.

Експеримент 2: в який бiк рухається система?

Маємо два тiла з масами $$m_1$$ та $$m_2$$. Визначити умови для трьох станiв системи: 1) стан спокою системи; 2) прискорення другого тiла напрямлене вгору; 3) прискорення другого тiла напрямлене вниз.

  • Момент перед початком руху другого тiла вниз У цей момент сила тертя, що дiє на перше тiло, напрямлена вниз по похилiй площинi. Прискорення у цей момент ще дорiвнює нулеві. Сила тертя дорiвнює максимальнiй силi тертя спокою $$\mu N$$. Проекцiя на вiсь $$x$$ для першого тіла: $$T - F_T - m_1 g \sin \alpha =$$$$ 0 \Rightarrow$$$$ T =$$$$ m_1 g \sin \alpha + F_T$$ Проекцiя на вiсь $$y$$ для другого тiла: $$T = m_2 g$$ Сила натягу нитки для першого i для другого тiла – однакова, адже маємо один нерозтяжний трос, що сполучає цi тiла.Умова руху другого тiла вниз:

    $$m_2 g \ge m_1 g \sin \alpha + F_T $$

    Сила тертя в момент початку руху дорiвнює $$F_T = \mu N$$. $$N$$ можна визначити за допомогою розгляду проекцiй сил, що прикладенi до першого тiла, на вiсь $$y$$.

  • Момент перед початком руху другого тiла вгоруТут вiдмiннiсть у тому, що сила тертя для першого тiла тепер напрямлена в інший бік. Тобто, збігається за напрямом з силою натягу нитки. Далi проводимо аналогiчнi до першого випадку розрахунки. Проекцiя на вiсь $$x$$ для першого тiла:$$T + F_T - m_1 g \sin \alpha =$$$$ 0 \Rightarrow$$$$ T =$$$$ m_1 g \sin \alpha - F_T$$ Проекцiя на вiсь $$y$$ для другого тiла: $$T = m_2 g$$Знову-таки сила натягу однакова для першого i другого тiла.Умова руху другого тiла вгору:

    $$m_2 g \le m_1 g \sin \alpha - F_T $$

Рекомендуємо подивитися наш експеримент, який покаже цікаве застосування сили тертя на практиці ;)