Додаток

Додаток

Тригонометричні функції

Тригонометричні функції – функції, що залежать від кута і пов'язують між собою кути трикутника та відношення довжин його сторін. Вони мають широкий спектр застосувань у математиці і, відповідно, в областях науки, де математика застосовується для опису різних явищ та процесів.

Безпосередньо у фізиці тригонометрія використовується для представлення векторів у різних системах координат і моделюванні періодичних процесів (звукових хвиль, електромагнітних коливань, зміни середньої температури протягом року тощо).

Сучасна наука використовує 6 базових тригонометричних функцій: sin, cos, tg, ctg, sec, csc; через перші дві виражаються всі інші.

Для визначення тригонометричних функцій кута α\alpha потрібно взяти прямокутний трикутник, що містить цей кут α\alpha. Сторони трикутника матимуть наступні назви:

  • Гіпотенуза – сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти його прямого кута. Вона завжди є найдовшою зі сторін трикутника.

  • Прилеглий катет – сторона, що лежить між прямим кутом і кутом α\alpha.

  • Протилеглий катет – сторона, що лежить навпроти кута $$\alpha$$.

Тепер у нас є все необхідне для означення основних тригонометричних функій.

  • Синус кута – це відношення довжини протилеглого катета до гіпотенузи. У нашому випадку:

    $$\sin(\alpha) = \dfrac{\color{#D0021B}п{\color{#D0021B}р\color{#D0021B}о\color{#D0021B}т\color{#D0021B}и\color{#D0021B}л\color{#D0021B}е\color{#D0021B}г\color{#D0021B}л\color{#D0021B}и\color{#D0021B}й} \thinspace {\color{#D0021B} к\color{#D0021B}а\color{#D0021B}т\color{#D0021B}е\color{#D0021B}т}}{\color{#4A90E2}г\color{#4A90E2}і\color{#4A90E2}п\color{#4A90E2}о\color{#4A90E2}т\color{#4A90E2}е\color{#4A90E2}н\color{#4A90E2}у\color{#4A90E2}з\color{#4A90E2}а} = \dfrac{\color{#D0021B}b}{\color{#4A90E2}h}$$

  • Косинус кута – це відношення довжини прилеглого катета до гіпотенузи:$$\cos(\alpha) = \dfrac{\color{#417505}п\color{#417505}р\color{#417505}и\color{#417505}л\color{#417505}е\color{#417505}г\color{#417505}л\color{#417505}и\color{#417505}й \thinspace \color{#417505}к\color{#417505}а\color{#417505}т\color{#417505}е\color{#417505}т}{\color{#4A90E2}г\color{#4A90E2}і\color{#4A90E2}п\color{#4A90E2}о\color{#4A90E2}т\color{#4A90E2}е\color{#4A90E2}н\color{#4A90E2}у\color{#4A90E2}з\color{#4A90E2}а}=\dfrac{\color{#417505}a}{\color{#4A90E2}h}$$

  • Тангенс кута – це відношення довжини протилеглого катета до прилеглого катета:

    $$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{\color{#D0021B}п{\color{#D0021B}р\color{#D0021B}о\color{#D0021B}т\color{#D0021B}и\color{#D0021B}л\color{#D0021B}е\color{#D0021B}г\color{#D0021B}л\color{#D0021B}и\color{#D0021B}й} \thinspace {\color{#D0021B} к\color{#D0021B}а\color{#D0021B}т\color{#D0021B}е\color{#D0021B}т}}{\color{#417505}п\color{#417505}р\color{#417505}и\color{#417505}л\color{#417505}е\color{#417505}г\color{#417505}л\color{#417505}и\color{#417505}й \thinspace \color{#417505}к\color{#417505}а\color{#417505}т\color{#417505}е\color{#417505}т}=\dfrac{\color{#D0021B}b}{\color{#417505}a}$$Розділивши чисельних і знаменник на довжину гіпотинузи, отримаємо:$$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{\color{#D0021B}b/ \color{#4A90E2}h}{\color{#417505}a/ \color{#4A90E2}h} = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

Ще три основні тригонометричні функції є оберненими до попередніх:

  • Котангенс кута:

    $$\text{ctg}(\alpha) = \dfrac{1}{\text{tg}(\alpha)} = \dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$

  • Секанс кута:

    $$\sec(\alpha) = \dfrac{1}{\sin(\alpha)}$$

  • Косеканс кута:

    $$\csc(\alpha) = \dfrac{1}{\cos(\alpha)}$$

Усі ці функції є періодичними, тобто повторюють свої значення при певній змінні кута. Для функцій sin, cos, sec і csc величина цієї зміни становить $$2\pi$$, для tg, ctg – $$\pi$$.

$$\sin(\alpha) = \sin(\alpha \pm 2\pi k), \, k = \overline{1, 2, 3,...} $$

$$\text{tg}(\alpha) = \sin(\alpha \pm \pi k), \, k = \overline{1, 2, 3,...} $$Аналогічно й для cos, ctg, sec, csc.

Графік залежності функцій sin та cos від кута на проміжку $$[0; 2\pi]$$

Як видно з графіку, функції sin\sin та cos\cos мають однакову форму, проте відрізняються фазою на π2\dfrac{\pi}{2}:

$$\sin(\alpha) = \cos(\dfrac{\pi}{2} - \alpha)$$

$$\cos(\alpha) = \sin(\dfrac{\pi}{2} - \alpha)$$

Варто знати також деякі тригонометричні співвідношення.

  • Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$

  • Формули длясуми/різниці кутів:

    $$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)$$

    $$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\alpha)$$

    $$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$$

    $$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$$

  • Якщо кути α\alpha та β\beta рівні між собою, то формули суми/різниці спрощуються до формул подвійних кутів:

    $$\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$$

    $$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)= 2 \cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$$

  • Формули функцій половинного кута: $$\sin\big(\dfrac{\alpha}{2}\big) = \sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}$$ $$\cos\big(\dfrac{\alpha}{2}\big) = \sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}$$

  • Формули для суми/різниці функцій кута:

$$\sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2\sin\big(\dfrac{\alpha \pm \beta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{\alpha \mp \beta}{2}\big)$$

$$\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\big(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\big)$$

$$\cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\big(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\big)\sin\big(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\big)$$