Дроби та дiї над ними

Визначення Звичайний дрiб — це число виду $$\dfrac{m}{n}$$ , де чисельник дробу $$m$$ та знаменник дробу $$n$$ – натуральнi числа. Якщо $$mназивають правильним, якщо $$m\geq n$$ – неправильним.

Число, що є сумою натурального числа та звичайного дробу, називають мiшаним.

Перевести мiшане число у звичайний дрiб можна, помноживши цiлу частину на знаменник дробової частини та додавши до чисельника дробової частини.

Наприклад: $$10\dfrac{2}{7} = \dfrac{(10\cdot7+2)}{7}=\dfrac{72}{7}.$$

Неправильний дрiб можна перевести у мiшане число роздiливши чисельник на знаменник. Частка вiд дiлення буде цiлою частиною, остача – чисельником, дiльник – знаменником.

Основна властивiсть дробу: якщо і чисельник, i знаменник помножити чи подiлити на одне й те саме число, відмінне від нуля, отримаємо дрiб, що рiвний вихiдному.

Наприклад: $$\dfrac{5}{2} = \dfrac{5\cdot7}{2\cdot7} = \dfrac{35}{14}.$$

Тепер розглянемо основнi дiї над дробами. Розпочнемо з операцiї зведення до спiльного знаменника. Для чого вона потрiбна? По-перше, це дозволить легко порiвнювати дроби з рiзними знаменниками. По-друге, без цiєї операцiї неможливо зробити додавання та вiднiмання дробiв з рiзними знаменниками.

Алгоритм Зведення дробiв до спiльного знаменника

  • Знайти НСК знаменникiв дробiв.

  • Подiлити НСК на кожний зi знаменникiв i знайти додатковi множники.

  • Помножити чисельник i знаменник дробу на його додатковий множник.

Наприклад: звести дроби $$\dfrac{2}{9}$$ i $$\dfrac{7}{12}$$ до спiльного знаменника. НСК $$(9,12) = 36.$$ Додатковi множники: $$\dfrac{36}{9} = 4$$, $$\dfrac{36}{12} = 3.$$ Маємо: $$\dfrac{(2\cdot4)}{(9\cdot4)} = \dfrac{8}{36}$$ i $$\dfrac{7\cdot3}{12\cdot3} = \dfrac{21}{36}.$$

Дiї над дробами.

  • Додавання i вiднiмання. Сумою (рiзницею) двох дробiв з однаковими знаменниками ac\dfrac{a}{c} i bc\dfrac{b}{c} є дрiб з таким самим знаменником, а у чисельнику якого записана сума (рiзниця) чисельникiв: a±bc\dfrac{a\pm b}{c}. Якщо дроби мають різні знаменники, треба звести їх до спільного.

  • Множення. Добутком двох дробів є дріб, у чисельнику якого стоїть добуток чисельників цих дробів, а у знаменнику – добуток знаменників: acbd=abcd.\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}.

  • Ділення. Операції ділення дробів еквівалентна операція множення на дріб, що є перевернутим: ac:bd=acdb=adcb.\dfrac{a}{c}:\dfrac{b}{d} = \dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{d}{b}= \dfrac{a\cdot d}{c\cdot b}.

Визначення Десятковий дрiб — форма запису звичайного дробу зi знаменником вигляду $$10^n$$.

Наприклад: $$\dfrac{8}{10}=0,8$$; $$\dfrac{127}{10000}=0,0127.$$

Кожен звичайний дріб можна подати у вигляді скінченого або нескінченого десяткового дробу. Періодом нескінченого десяткового дробу називають найменшу групу цифр після коми, яка повторюється. Цей період записують один раз у круглих дужках.

Наприклад: $$2,1156156156... = 2,1(156)$$; $$0,133333333... = 0,1(3).$$

Перетворення нескінченого періодичного дробу в звичайний. Отриманий дріб матиме вигляд: у чисельнику стоїть різниця числа, яке стоїть до другого періоду, та числа, яке стоїть до першого періоду; у знаменнику записується цифра 99 стільки разів, скільки цифр у періоді, і дописується цифра 00 стільки разів, скільки цифр між комою і першим періодом.

Стандартний вигляд числа — це запис числа в експоненціальному вигляді $$a\cdot 10^n$$, де $$1\leq a

Наприклад: $$256000 = 2,56\cdot 10^5; 0,00071 = 7,1\cdot 10^{-4}.$$

Коли записують число у такій формі, зручно користуватись так званим «пересуванням коми» для визначення показника $$n$$. Треба "пересунути" кому на певну кількість позицій таким чином, щоби отримати число від $$1$$ до $$10$$. Якщо кома зсувається ліворуч на $$n$$ позицій, то показник, відповідно, збільшується на $$n$$. Якщо праворуч – то зменшується на $$n$$.

Ось саме так записали 256000256000. Для того, щоб отримати число від 11 до 1010, треба пересунути кому на 55 позицій ліворуч. Зсунувши кому на 55 позицій ліворуч, ми збільшуємо показник на 55. Отримуємо стандартний вигляд: 2,561052,56\cdot10^5. Аналогічно треба діяти з числом 0,000740,00074. Для того, щоб отримати число від 11 до 1010, треба пересунути кому на 44 позиції праворуч. Зсунувши кому на 44 позиції праворуч, ми зменшуємо показник на 44. В результаті, маємо 7,41047,4\cdot10^{-4}.

Чому дорівнює значення дробу $$\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1\dfrac{4}{6}}$$? $$\dfrac{3}{7}$$ $$\dfrac{70}{30}$$ $$\dfrac{50}{30}$$ $$1\dfrac{2}{3}$$ Спростимо дріб: $$\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1\dfrac{4}{6}}=\dfrac{\dfrac{5}{7}}{\dfrac{10}{6}}=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{7}$$

Обчисліть значення виразу $$5\dfrac{3}{5}\cdot7\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{20}-250$$ $$10$$ $$20$$ $$30$$ $$40$$ $$50$$ Спростимо дріб: $$5\dfrac{3}{5}\cdot7\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{20}-250=\dfrac{28}{5}\cdot\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{20}{3}-250=28\cdot5\cdot2-250=30$$