Прості та складені числа

Тепер поговоримо про самi числа. У цiй частинi йде мова тiльки про натуральнi числа, тому далi це не вказується.

Визначення Простi числа — тi числа, що дiляться тiльки на себе та на одиницю. Наприклад: $$2, 3, 5, 7, 13$$.

Складенi числа — тi числа, що мають бiльше нiж $$2$$ дiльники.

Розкладання складеного числа на простi множники — це запис числа у виглядi добутку простих чисел, що є дiльниками цього числа:

$$3276 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13.$$

З iншого боку, запис буде простiшим, якщо звести однаковi множники та записати їх у степеневому виглядi:

$$3276 = 2^2\cdot 3^2 \cdot 7^1 \cdot 13^1.$$

Взаємно простi числа — пара чисел, що не мають спiльних дiльникiв, крiм одиницi.

Часто стає у нагодi знання того, як знаходити найбiльший спiльний дiльник та найменше спiльне кратне.

Визначення Найбiльший спiльний дiльник (НСД) кiлькох чисел — найбiльше число, на яке дiляться данi числа без остачi.

Алгоритм Знаходження НСД кiлькох чисел

  • Записати розклад даних чисел на простi множники.

  • Записати степенi всiх простих множникiв.

  • Виписати всi простi множники.

  • Обрати найменший степiнь, що зустрiчається у розкладах.

  • Обчислити добуток цих степенiв.

Приклад

Обчислити НСД $$(504, 180)$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:НСД $$(504,180) = 2^2 \cdot 3^2 = 6^2 = 36.$$Вiдповiдь. $$36$$

Який НСД чисел $$460$$ і $$280$$? $$8$$ $$5$$ $$20$$ $$4$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$460=2\cdot2\cdot5\cdot23$$

$$280=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7$$

Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:

НСД $$(460,280) = 2^2 \cdot 5^1 = 20.$$

Який НСД чисел $$16$$, $$20$$ і $$28$$? $$2$$ $$4$$ $$8$$ $$12$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$16=2\cdot2\cdot2\cdot2$$

$$20=2\cdot2\cdot5$$

$$28=2\cdot2\cdot7$$

Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:

НСД $$(16,20,28) = 2^2 = 4.$$

Визначення Найменше спiльне кратне (НСК) кiлькох чисел — найменше число, яке дiлиться на данi числа без остачi.

Алгоритм Знаходження НСК кiлькох чисел

  • Записати розклад даних чисел на простi множники.

  • Записати степенi всiх простих множникiв.

  • Виписати всi простi множники.

  • Обрати найбiльший степiнь, що зустрiчається у розкладах.

  • Обчислити добуток цих степенiв.

Приклад

Обчислимо НСК $$(504, 180)$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:НСК $$(504,180) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520.$$Вiдповiдь. $$2520.$$

Яке НСК чисел $$115$$ і $$920$$? $$115$$ $$23$$ $$920$$ $$1840$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$115 = 5\cdot23$$

$$920 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot23$$

Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:

НСД $$(115,920) = 2^3 \cdot 5 \cdot 23 = 920.$$

Яке НСК чисел $$2$$, $$3$$ і $$4$$? $$4$$ $$8$$ $$12$$ $$24$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$4=2\cdot2$$

Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:

НСД $$(115,920) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.$$

Запис чисел за допомогою лiтер. Будь-яке двозначне число можна записати у виглядi 10a+b10a + b, де aa – цифра десяткiв (a0)(a\neq0), а bb – цифра одиниць. Двозначне число, що складається з aa десяткiв та bb одиниць, записують (ab)(\overline{ab}) ((риска зверху говорить, що це не добуток двох змiнних aa i b)b). Аналогiчно тризначне число (abc)=100a+10b+c,a0.(\overline{abc}) = 100a + 10b + c, a \neq 0.