Корінь n-го степеня та його основні властивості

Визначення Коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$ називають число $$b$$, таке, що $$b^n=a$$, $$n \in \mathbb{N}.$$

Наприклад: коренем четвертого степеня числа $$16$$ є числа $$2$$ та $$-2$$, тому що $$(\pm 2)^4=16.$$

Коренем другого степеня є квадратний корінь, третього – кубічний.

Зауважимо, що корені парних ступенів з $$n=2k$$ існують лише для додатних чисел. Кожне число має два корені: $$(b)^{2n}=(-b)^{2n}=a.$$

Корені непарних ступенів з $$n=2k+1$$ існують для будь-яких чисел (в тому числі від’ємних). Кожне числo має один корінь: $$(b)^{2n+1}=a; (-b)^{2n+1}=-a.$$

Наприклад: число $$225$$ має два квадратних корені: $$\pm15$$, бо $$(\pm15)^2=225$$; число $$64$$ має один кубічний корінь: $$4$$, бо $$(4)^3=64$$; а $$-4$$ є кубічним коренем $$-64$$: $$(-4)^3=-64.$$

Визначення Арифметичним коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$ називають невід’ємне число, $$n$$-й степінь якого рівний невід’ємному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt[n]{a}$$.

Наприклад: $$\sqrt[4]{64}=2$$

Пoзначення $$\sqrt[n]{a}$$ використовується для всіх арифметичних коренів, а також для неарифметичних (число a від’ємне) коренів непарного степеня.

Степенем додатного числа $$a$$ з раціональним показником $$\dfrac{m}{n}$$, $$n \in \mathbb{N}, n\geq2,$$ $$m \in \mathbb{Z}$$ називають корінь $$n$$-го степеня з числа $$a^m$$:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$

Надалі будемо розгляди окремо корені парного степеня з $$n=2k$$, для яких $$a\geq0$$ (арифметичні корені) та непарного степеня з $$n=2k+1$$, для яких $$a\in \mathbb{R}$$ (і арифметичні, і неарифметичні корені).

$$n = 2k$$

$$n = 2k+1$$

Приклади

$$1.$$

$$(\sqrt[n]{a})^n = a$$

$$(\sqrt[n]{a})^n = a$$

$$\sqrt[3]{27} = 3; \sqrt[4]{256} = 4$$

$$2.$$

$$(\sqrt[2k]{a})^{2k} = |a|$$

$$(\sqrt[2k+1]{a})^{2k+1} = a$$

$$\sqrt[4]{16} = 2; \sqrt[3]{-64} = -4$$

$$3.$$

$$\sqrt[2k]{-a}$$ не існує!!!

$$\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}$$

$$\sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64} = -4$$

$$4.$$

$$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$

$$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$

$$(\sqrt[3]{4}) = \sqrt[3]{256}$$

$$5.$$

$$\sqrt[2k]{ab} = \sqrt[2k]{|a|} \cdot \sqrt[2k]{|b|}$$

$$\sqrt[2k+1]{ab} = \sqrt[2k+1]{a} \cdot \sqrt[2k+1]{b} $$

$$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{27}$$

$$6.$$

$$a\sqrt[2k]{b} = \begin{cases} \sqrt[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \ge 0 \\ -\sqrt[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \lt 0 \end{cases}$$

$$a\sqrt[2k+1]{b} = \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}b} $$

$$\begin{aligned}2\sqrt[3]{3} & = \sqrt[3]{24} \\ -2\sqrt[4]{5} & = -\sqrt[4]{90}\end{aligned}$$

$$7.$$

$$\sqrt[2k]{a^{2k}b} = |a| \sqrt[2k]{b}$$

$$\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}b} = a \sqrt[2k+1]{b}$$

$$\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$$

$$8.$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} $$

$$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} $$

$$\sqrt[3]{\sqrt[4]{10}} = \sqrt[12]{10}$$

Також справедливі вирази: $$\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}, a \geq0; \sqrt[n]{0}=0; \sqrt[n]{1}=1.$$

Спростіть вираз: $$\sqrt[4]{81}$$ $$-3$$ $$3$$ $$9$$ $$-9$$

Спростіть вираз: $$\sqrt[4]{-4}$$ такий корінь невизначений $$1$$ $$2$$ $$4$$