Квадратний корiнь та його основнi властивостi

Визначення Квадратним коренем числа $$a$$ називають число $$b$$, таке, що $$b^2=a.$$

Наприклад: квадратним коренем числа $$225$$ є числа $$15$$ та $$-15$$, тому що $$(\pm 15)^2=225$$.

Визначення Арифметичним квадратним коренем числа $$a$$ називають невід’ємне число, квадрат якого рівний невід’ємному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt{a}$$.

Наприклад: $$\sqrt{64}=8$$. Вираз $$\sqrt{-15}$$ не має сенсу.

Знак кореня $$\sqrt{\color{white} a}$$ називають радикалом, число $$a$$ — підкореневим виразом.

Інший варіант запису квадратного кореня – через дробний степінь $$\dfrac{1}{2}$$: $$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$$. Саме з цього випливають основні властивості кореня – вони такі ж самі, як і у степеневих виразів.

Основні властивості квадратного кореня:

  • $$\sqrt{a^2}=|a|, a \in \mathbb{R}.$$

    Наприклад: $$\sqrt{15^2}=15.$$

  • $$(\sqrt{a})^2=a.$$

    Наприклад: $$\sqrt{(-15)^2}=15, (\sqrt{15})^2=15.$$

  • $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.$$

    Наприклад: $$\sqrt{15}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}.$$

  • $$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, a\geq0, b\geq0.$$

    Наприклад: $$\sqrt{15}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt2}.$$

  • $$b\sqrt a = \begin{cases} \sqrt{b^2a}, b\geq0;\\ -\sqrt{b^2a}, b\leq0. \end{cases}$$

    Наприклад: $$2\sqrt{15}=\sqrt{60}; -2\sqrt{15}=-\sqrt{60}.$$

  • $$\sqrt{b^2a}=|b|\sqrt{a}.$$

    Наприклад: $$\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$$

ОДЗ для підкореневого виразу $$\sqrt{a}$$: $$a\geq0$$

Спростіть вираз: $$\sqrt{72}$$ $$3\sqrt{4}3$$ $$6\sqrt{2}$$ $$2\sqrt{16}$$ $$4\sqrt{3}$$

Спростіть вираз: $$\sqrt{a^5}$$ $$a^2\sqrt{a}$$ $$a^2$$ $$a^3\sqrt{a}$$ $$\sqrt{a}$$