Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)

Перший рядок – доповнюючий множник знаходимо шляхом доповнення до цілого степеня, а наступні три виводимо з формул скороченого множення.

Вираз

Доповнюючий множник

Результат множення

Чому саме такий вигляд доповнюючого множника?

$$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$

$$\sqrt[n]{a^{kn-m}} = a^{\frac{kn-m}{n}}, \\ k \gt \dfrac{m}{n}, k \in \mathbb{N} $$

$$a^k, \thinspace k \in \mathbb{N} $$

Доповнення до цілого степеня

$$\sqrt{a} + \sqrt{b} $$

$$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$

$$a-b$$

Формула різниці квадратів

$$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} $$

$$\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $$

$$a+b$$

Формула суми кубів

$$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} $$

$$\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $$

$$a-b$$

Формула різниці кубів

Приклад

Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу: a) $$\dfrac{25}{\sqrt[6]{x^2+x+1}}$$; б) $$\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+1}$$; в) $$\dfrac{x}{\sqrt[3]{2x+5}+3}$$.

Розв’язок

Вiдповiдь

Приховати

Розв’язок.

a) $$\dfrac{25}{\sqrt[6]{x^2+x+1}}=\dfrac{25\cdot\sqrt[6]{(x^2+x+1)^5}}{\sqrt[6]{x^2+x+1}\cdot\sqrt[6]{(x^2+x+1)^5}}=\dfrac{25\cdot\sqrt[6]{(x^2+x+1)^5}}{x^2+x+1}$$;

б) $$\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)\cdot(\sqrt{x}-1)}=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{x-1}$$;

в) $$\dfrac{x}{\sqrt[3]{2x+5}+3} = \dfrac{x}{\sqrt[3]{2x+5}+\sqrt[3]{27}}=

= \dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-\sqrt[3]{27(2x+5)}+\sqrt[3]{27^2})}{(\sqrt[3]{2x+5}+\sqrt[3]{27})\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-\sqrt[3]{27(2x+5)}+\sqrt[3]{27^2})} =$$

$$= \dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt[3]{(2x+5)}+9)}{2x+5+27} = \dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt[3]{(2x+5)}+9)}{2x+32}$$.

Вiдповiдь. a) $$\dfrac{25\cdot\sqrt[6]{(x^2+x+1)^5}}{x^2+x+1}$$; б) $$\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{x-1}$$; в) $$\dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt[3]{(2x+5)}+9)}{2x+32}$$.