Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу

Часто виникає необхідність звільнитись від ірраціональності у знаменнику (чисельнику) дробово-ірраціонального виразу.

Це можна забезпечити, скориставшись основною властивістю дробу, – помножити чисельник та знаменник на доповнюючий множник для знаменника (чисельника):

$$\dfrac{\overbrace{M(x)}^\text{ірраціональний вираз}}{\underbrace{N(x)}_\text{ірраціональний вираз}}=\dfrac{\overbrace{M(x)\cdot\bar N(x)}^\text{ірраціональний вираз}}{\underbrace{N(x)\cdot\bar N(x)}_\text{раціональний вираз}}=\dfrac{\overbrace{M(x)\cdot\bar M(x)}^\text{раціональний вираз}}{\underbrace{N(x)\cdot\bar M(x)}_\text{ірраціональний вираз}}.$$ Приклад

Звільнитися від ірраціональності у знаменниках виразу $$\dfrac{1}{\sqrt7}+\dfrac{25}{\sqrt[3]{10}}.$$

  • Розв’язок

  • Вiдповiдь

  • Приховати

Розв’язок.

Для першого знаменника $$\sqrt{7}$$ доповнюючим виразом буде $$\sqrt{7}$$, бо $$\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=7$$ — раціональний вираз. Для другого знаменника $$\sqrt[3]{10}$$ доповнюючим виразом буде $$\sqrt[3]{10^2}$$, бо $$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{10^2}=10$$ — раціональний вираз.

Таким чином:

$$\dfrac{1}{\sqrt7}+\dfrac{25}{\sqrt[3]{10}}=\dfrac{1\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}+\dfrac{25\cdot\sqrt[3]{10^2}}{\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{10^2}}=\dfrac{\sqrt7}{7}+\dfrac{5\sqrt[3]{10^2}}{10}.$$

Вiдповiдь. $$\dfrac{\sqrt7}{7}+\dfrac{5\sqrt[3]{10^2}}{10}.$$

Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: $$\dfrac{1}{\sqrt{7}-2}$$ $$\dfrac{-\sqrt{7}-2}{4}$$ $$\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}$$ $$\dfrac{\sqrt{7}+2}{2}$$ $$1$$ Домножимо знаменник дробу на доповнюючий множник: $$\dfrac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}.$$

Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: $$\dfrac{14}{\sqrt[5]{(x^3+1)^2}}$$ $$\dfrac{14\sqrt[5]{(x^3+1)^3}}{x^3+1}$$ $$\dfrac{14\sqrt[5]{(x^3+1)^2}}{x^3+1}$$ $$\dfrac{14\sqrt[3]{(x^3+1)^3}}{x^3+1}$$ $$\dfrac{14\sqrt[5]{(x^3+1)^4}}{x^3+1}$$ Домножимо знаменник дробу на доповнюючий множник: $$\dfrac{14}{\sqrt[5]{(x^3+1)^2}} = \dfrac{14\sqrt[5]{(x^3+1)^3}}{\sqrt[5]{(x^3+1)^2}\sqrt[5]{(x^3+1)^3}} = \dfrac{14\sqrt[5]{(x^3+1)^3}}{x^3+1}.$$