Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем

Визначення Ірраціональне рівняння — це рівняння, що містить змінну під знаком кореня, або в дробовому степені.

Наприклад: $$\sqrt{x}+1=2$$; $$\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x}=x^2$$; $$x^{\frac{2}{3}}=x+1.$$

Розпочнемо з найпростіших рівнянь, що містять змінну під знаком квадратного кореня, і такий доданок лише один. Наприклад: $$\sqrt{x+2}+1=5$$.

Основний принцип розв'язання такого рівняння базується на властивості квадратного кореня:

$(\sqrt{a})^2=a.$

Для того, щоб скористатися цією властивістю потрібно залишити доданок з коренем в одній частині рівняння, а решту доданків зібрати в іншій. Тому такий метод отримав назву метод відкоремлення кореня.

$$\sqrt{x+2} + 1 = 5$$	Вихідне рівняння
$$\sqrt{x+2} + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1 = 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1$$	Віднімаємо $$1$$ від обох частин
$$\sqrt{x+2} = 4$$	Спрощуємо

Тепер час скористатися вищезгаданою властивістю.

$$\color{#1570bd}(\sqrt{x+2}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(4\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$	Підносимо обидві частини до квадрату
$$x+2 = 16$$	Спрощуємо

Вуаля. Страшний корінь раптом зник, і ми маємо звичайне рівняння.

$$x+2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 = 16 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2$$	Віднімаємо $$2$$ від обох частин
$$x = 14$$	Спрощуємо

Алгоритм

1. Залишити доданок з коренем в одній частині рівняння, а решту доданків зібрати в іншій.

2. Піднести до квадрату обидві частини рівняння та спростити.

3. Розв’язати отримане рівняння. Якщо дане рівняння містить доданки з коренем – повторити кроки 1-2.

4. Перевірити отримані розв’язки підстановкою у вихідне рівняння.

Приклад

Розв’язати рівняння $$2\sqrt{2x+1}-5x+2=x$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 = x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 = x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2$$Додаємо $$5x-2$$ до обох частин$$2\sqrt{2x+1} = 6x - 2$$Спрощуємо$$\dfrac{2}{\color{#1570bd}2}\sqrt{2x+1} = \dfrac{6x - 2}{\color{#1570bd}2}$$Ділимо обидві частини на $$2$$$$\sqrt{2x+1} = 3x - 1$$СпрощуємоПідносимо обидві частини рівняння до квадрату:$$\color{#1570bd}(\sqrt{2x+1}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(3x-1\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$2x + 1 = 9x^2 - 6x + 1$$Спрощуємо$$2x + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1 = 9x^2 - 6x + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1$$Віднімаємо $$2x-1$$ від обох частин$$0 = 9x^2 - 8x$$СпрощуємоРозв’язуємо отримане рівняння:$$9x^2 - 8x = 0$$Вихідне рівняння$$\color{#1570bd}x\color{#1570bd}(9x-8\color{#1570bd}) = 0$$Виносимо спільний множник $$x$$ за дужки$$\left[ \begin{array}{} x = 0,\\ 9x-8 = 0 \end{array} \right.$$Переписуємо рівняння у вигляді сукупності двох простіших рівнянь$$\left[ \begin{array}{} x = 0,\\ x = \dfrac{8}{9} \end{array} \right.$$Отримуємо розв'язокПеревіряємо отримані розв’язки:$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 \ = \ x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}0 + 1} - 5 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}0 + 2 \ = \ ?\color{#1570bd}0$$Підставляємо $$0$$ замість $$x$$$$2\sqrt{1} + 2 \ = \ ?\color{#1570bd}0$$Спрощуємо$$4 \ = \ 0$$Невірно$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 = \ x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2 \color{#1570bd}\cdot \dfrac{\color{#1570bd}8}{\color{#1570bd}9} + 1} - 5 \cdot \dfrac{8}{9} + 2 = \ ? \dfrac{\color{#1570bd}8}{\color{#1570bd}9}$$Підставляємо $$\dfrac{8}{9}$$ замість $$x$$$$2\sqrt{\dfrac{25}{9}} - \dfrac{22}{9} = \ ?\dfrac{8}{9}$$Спрощуємо$$2\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \ ? \dfrac{30}{9}$$$$\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \ ?\dfrac{15}{9}$$$$\dfrac{5}{3} = \ ?\dfrac{15}{9}$$ВірноВідповідь: $$x=\dfrac{8}{9}$$.

Побічні корені

За визначенням значення квадратного кореня є завжди додатним. Ця властивість дозволяє швидко оцінити рівняння на наявність коренів. Якщо, раптово, зустрінеться рівняння вигляду

$$\sqrt{20-3x}=-20$$

то одразу, не розв'язуючи його можна сказати, що таке рівняння коренів не має. Значення доданку з квадратним коренем не може бути від’ємним $$\sqrt{20-3x} \geq0$$, і тому $$x\in\emptyset$$.

Але якщо ми піднесемо обидві частини рівняння до квадрату (слідуючи алгоритму розв’язання):

$$20-3x=400$$

таке рівняння, на відміну від попереднього, вже має корінь і його значення: $$x=-\dfrac{380}{3}$$.

Такий корінь називають побічним. Він з’явився після піднесення обох частин рівняння до квадрату. Це пов’язано з тим, що рівняння $$20-3x=400$$ можна отримати піднесенням до квадрату як рівняння $$\sqrt{20-3x}=-20$$, так і рівняння $$\sqrt{20-3x}=20$$.

Аналогічно, в попередньому прикладі $$x=0$$ був побічним коренем рівняння. Він не пройшов перевірку підстановкою у вихідне рівняння, і був відсіяний. Тому, будьте уважними під час перевірки знайдених коренів.