Показниковi та логарифмiчнi тотожностi

Далі наведено основні показникові тотожності, частину з яких вже було наведено при означенні степеня, решта – при означенні кореня.

В показникових тотожностях основа завжди приймається додатною (це далі не вказується), отже $$a^x>0$$ – завжди більше від нуля.

Основні показникові тотожності:

  1. $$a^0=1$$.

  2. $$a^1=a$$.

  3. $$a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$$.

  4. $$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$$.

    Наприклад: $$7^{3+x}=7^3\cdot7^x=343\cdot7^x.$$

  5. $$a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y}$$.

    Наприклад: $$7^{x-3}=7^{-3}\cdot7^x=\dfrac{1}{343}\cdot7^x.$$

  6. $$a^{xy}=(a^x)^y=(a^y)^x$$.

    Наприклад: $$625^x=(5^4)^x=5^{4x}.$$

  7. $$a^{\frac{x}{y}}=\sqrt[y]{a^x}, y\in\mathbb{N}$$.

    Наприклад: $$3^{\frac{x}{2-x}}=\sqrt[2-x]{3^x}.$$

  8. $$a^x\cdot b^x=(ab)^x$$.

    Наприклад: $$3^x\cdot4^x=(3\cdot4)^x=12^x.$$

  9. $$\dfrac{a^x}{b^x}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^x$$.

    Наприклад: $$\dfrac{5^x}{3^x}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^x.$$