Логарифмiчнi тотожностi

В наведених далі співвідношеннях основа логарифма вважається додатною та нерівною $$1: a>0, a\neq1$$.

Основні логарифмічні тотожності:

  1. $$a^{\log_{a}b}=b$$.

  2. $$\log_{a}1=0$$.

  3. $$\log_{a}a=1$$.

  4. $$\log_{a}{a^b}=b$$.

  5. $$\log_{a}{xy}=\log_{a}{|x|}+\log_{a}{|y|}, xy>0$$.

    Наприклад: $$\log_{3}54=\log_{3}{2\cdot27}=\log_{3}2+\log_{3}27=\log_{3}2+\log_{3}{3^3}=\log_{3}2+3.$$

  6. $$\log_{a}{\dfrac{x}{y}}=\log_{a}{|x|}-\log_{a}{|y|}, xy>0$$.

    Наприклад: $$\log_{2}{\dfrac{16}{9}}=\log_{2}16-\log_{2}9=\log_{2}{2^4}-\log_{2}{9}=4-\log_{2}{9}.$$

  7. $$\log_{a}{x^p}=p\cdot\log_{a}{|x|}, x^p>0$$.

    Наприклад: $$\log_{5}64=\log_{5}{2^6}=6\log_{5}2.$$

  8. $$\log_{a^q}x=\dfrac{1}{q}\log_{a}x, q\neq0$$.

    Наприклад: $$\log_{9}23=\log_{3^2}23=\dfrac{1}{2}\log_{3}23.$$

  9. $$\log_{a^q}{x^p}=\dfrac{p}{q}\log_{a}x, q\neq0$$ — випливає з формул ($$7$$) та ($$8$$).

    Наприклад: $$\log_{16}125=\log_{2^4}{5^3}=\dfrac{3}{4}\log_{2}5.$$

  10. $$\log_{a}x=\dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$$ - формула переходу до іншої основи.

    Наприклад: $$\log_{2}27=\dfrac{\log_{3}27}{\log_{3}2}=\dfrac{\log_{3}{3^3}}{\log_{3}2}=\dfrac{3}{\log_{3}2}.$$

  11. $$\log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}$$ — випливає з формули ($$10$$).

  12. $$a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a}$$ — випливає з формули ($$7$$).