Логарифмування та потенцiювання

Визначення Логарифмування — це операція знаходження логарифмів заданих чисел чи виразів.

Приклад

Знайти логарифм $$x=25a\dfrac{b^2}{c}$$ за основою $$a$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Логарифмуємо обидві частини рівності та користуємось основними тотожностями:$$\log_{a}x=\log_{a}25a\dfrac{b^2}{c}=\log_{a}25 + \log_{a}a + \log_{a}{b^2} - \log_{a}c=2\log_{a}5+2\log_{a}b-\log_{a}c + 1.$$Вiдповiдь. $$\log_{a}x=2\log_{a}5+2\log_{a}b-\log_{a}c + 1.$$

Визначення Потенціювання — це операція знаходження чисел чи виразів за заданим логарифмом числа (виразу).

Якщо по обидві сторони рівності стоять логарифми без коефіцієнтів з однаковими основами, то при потенціюванні значки логарифмів прибирають:

$$\log_{a}{b(x)}=\log_{a}{c(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} b(x)=c(x);\\ b(x)>0. \end{cases}$$

Якщо ж основи різні чи є коефіцієнти, то значки логарифмів прибирати не можна. Треба скористатись основними тотожностями для перетворення виразу.

Приклад

Пропотенціювати вираз $$2\log_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Зводимо праву частину, щоб уся була під знаком логарифма:$$2\log_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b \Rightarrow \log_{2}x=\dfrac{1}{2}\ln24-\dfrac{3}{2}\ln a+\dfrac{6}{2}\ln b;$$$$\log_{2}x=\ln{\sqrt{24}}-\ln{a^{\frac{3}{2}}}+\ln{b^3} \Rightarrow \log_{2}x=\ln{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$Переходимо до однієї основи:$$\log_{2}x=\ln {b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}} \Leftrightarrow \log_{2}x=\dfrac{\log_{2}{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}}{\log_{2}e} \Leftrightarrow x=\dfrac{b^3}{\log_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$Вiдповiдь. $$x=\dfrac{b^3}{\log_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$

Знайти логарифм виразу $$3a^2\dfrac{c^3}{b^4}$$ за основою $$b$$ $$log_{b}3+log_{b}a+log_{b}c-4$$ $$-4$$ $$log_{b}3+2log_{b}a+3log_{b}c-4$$ $$log_{b}c-4$$ $$2log_{b}a+3log_{b}c$$

$$3a^2\dfrac{c^3}{b^4} = log_{b}3 + log_{b}a^2 + log_{b}c^3 - log_{b}b^4 = log_{b}3 + 2log_{b}a + 3log_{b}c -4log_{b}b =$$

$$= log_{b}3+2log_{b}a+3log_{b}c-4$$.

Пропотенціюйте вираз $$2log_{2}x = ln a^{\frac{4}{3}}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}$$ $$x=a^{\frac{3}{2}}\dfrac{1}{log_{2}e}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log_{2}e}$$ $$log_{2} x=\dfrac{1}{2}ln a^{\frac{4}{3}}$$ $$log_{2} x=lna^{\frac{2}{3}}$$ $$log_{2} x = \dfrac{log_{2}a^{\frac{2}{3}}}{log_{2}e}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log_{2}e}$$