Відсотки

Визначення Вiдсоток — це сота доля числа, яка позначається $$\%$$.

$$1 \% = \dfrac{1}{100} \Rightarrow a \% = \dfrac{a}{100}.$$ Вiдсотки не є розмiрною величиною.

Десятковий дрiб переводиться у вiдсотки множенням на $$100$$, знак $$\%$$ дописується. Вiдсотки переводяться у десятковий дрiб дiленням на $$100$$, знак $$\%$$ прибирається.

Збiльшення числа на $$p \%$$ еквiвалентне множенню числа на $$\left(1 +\dfrac{p}{100}\right).$$

Зменшення числа на $$p \%$$ еквiвалентне множенню числа на $$\left(1 -\dfrac{p}{100}\right).$$

Щоб знайти $$p$$ вiдсоткiв вiд числа $$a$$ необхiдно помножити число $$a$$ на вiдсотки $$p$$ (у виглядi десяткового дробу).

Наприклад: знайти $$55 \%$$ вiд $$15$$: $$55 \% = 0,55; \quad 15\cdot0,55 = 8,25.$$

Щоб знайти число за даним значенням $$b$$, що складає $$p$$ вiдсоткiв необхiдно зробити зворотне: роздiлити даний дрiб числа $$b$$ на вiдсотки $$p$$ (у виглядi десяткового дробу).

Наприклад: знайти число, якщо $$40 \%$$ вiд нього складає $$8$$: $$40 \% = 0,4;\quad \dfrac{8}{0,4}=20.$$

Щоб знайти вiдсоткове вiдношення двох чисел $$a$$ і $$b$$ необхiдно знайти їхню частку $$\dfrac{a}{b}$$ у виглядi десяткового дробу, та перевести його у вiдсотки (помножити на $$100$$ та дописати знак $$\%$$).

Наприклад: знайти, який вiдсоток складає $$15$$ вiд $$60$$: $$\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}=0,25;\quad 0,25 = 25 \%$$.

На початковому етапi знайомства з вiдсотками iнтуїтивно легше користуватись пропорцiєю.

Приклад

Скiльки води потрiбно додати до $$10$$ г $$50 \%$$ розчину солi, щоб розчин мiстив $$10 \%$$ солi?

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Маса солi у $$50 \%$$ розчинi: $$10\cdot50\% = 10\cdot0,5=5$$(г). $$10 \%$$ розчин мiстить $$90 \%$$ води. Складаємо пропорцiю для нового розчину, $$x$$ – маса води у новому $$10 \%$$ розчинi:$$\left. \begin{array}{l} 5\quad—\quad10\%\\ x\quad—\quad90\% \end{array}\right\} \Rightarrow x = \dfrac{5\cdot 90\%}{10\%} = 45$$ (г).Отже загальна маса води у новому розчині – $$45$$ г, але оскільки ми вже маємо у $$50 \%$$ розчині $$5$$ г води, то нам потрібно додати ще $$40$$ г.Вiдповiдь. $$40$$ (г).

Простi та складнi вiдсотки. В задачах про грошовi вкладення або знижки на цiну товару часто зручно користуватись формулами простих та складних вiдсоткiв.

Прості відсотки нараховуються на початкову суму і величина нарахування є постійною сумою та не залежить від часу, що пройшов від моменту вкладу. Якщо банк виплачує клієнтові $$p$$ відсотків від початкової суми $$X_0$$ щороку, на рахунку клієнта через $$n$$ років буде сума:

$$X_1=X_0+X_0 \dfrac{p}{100};$$

$$X_2=X_1+X_0 \dfrac{p}{100}=X_0 \left(1+\dfrac{2p}{100}\right);$$

$$\vdots$$

$$X_n=X_0 \left(1+\dfrac{pn}{100}\right).$$

Як бачимо, щороку додається одна й та сама кiлькiсть грошей.

Складні відсотки нараховуються на поточну суму на рахунку і сума нарахування зростає з плином часу. Якщо банк виплачує клієнтові $$p$$ відсотків річних, на рахунку клієнта через $$n$$ років буде сума:

$$X_1=X_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right);$$

$$X_2=X_1 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)=X_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2;$$

$$\vdots$$

$$X_n=X_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n.$$

Як бачимо, щороку додається все більша й більша сума (бо відсотки обчислюються з накопиченої суми). Аналогічна ситуація – коли на товар декілька разів нараховується знижка.

Отже, в обох пробірках по $$20$$ мл води. В першу додали $$7$$ грамів солі, в третю - $$2$$ грами. Яким вийшов перший розчин? $$20,6\%$$ $$25,9\%$$ $$35,0\%$$ $$44,2\%$$ $$53,8\%$$ Загальна маса першого розчину з сіллю і водою складає $$20+7=27$$ г. Для того, щоб знайти відсоток солі у розчині необхідно масу солі розділити на масу розчину: $$7:27\approx0,259=25,9\%$$

Яким вийшов третій розчин? $$8,3\%$$ $$9,1\%$$ $$10,0\%$$ $$10,9\%$$ $$11,1\%$$ Загальна маса третього розчину з сіллю і водою складає $$20+2=22$$ г. Для того, щоб знайти відсоток солі у розчині необхідно масу солі розділити на масу розчину: $$2:22\approx0,091=9,1\%$$