Дробово-рацiональнi нерiвності

Визначення Дробово-раціональна нерівність — це нерівність вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Наприклад: $$\dfrac{2}{x}0;\quad\dfrac{x^2-3x+5}{x(3x-1)(2x-6)(x-2)}

Для розв’язання дробово-раціональних нерівностей користуються тим самим методом інтервалів.

Основна думка в цьому варіанті полягає в тому, що дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві або не існує.

Граничні точки для дробово-раціональної функції можна знайти прирівнявши нулеві як чисельник: $$P(x)=0$$ (дробово-раціональна функція рівна нулю), так і знаменник: $$Q(x)=0$$ (дробово-раціональна функція не існує).

Алгоритм Метод інтервалів

  1. Виразити нерівність у вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}

    Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$ та $$Q(x)=0$$, знайшовши граничні точки.

    Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали.

    Знайти знаки функції $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ на кожному інтервалі.

    Обрати ті інтервали, на яких знаки $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ задовольняють вихідній нерівності.

Приклад

Розв’язати нерівність $$\dfrac{5}{x} Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Перетворюємо нерівність до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ \begin{align} \dfrac{5}{x} & \lt x \\ \dfrac{5}{x} - x & \lt x - x \\ \dfrac{5}{x} - x & \lt 0 \\ \dfrac{5}{x} - x \cdot \dfrac{x}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{5 - x^2}{x} & \lt 0 \end{align}$$Вихідна нерівність Віднімаємо $$x$$ від обох частин нерівності Спрощуємо Зводимо до спільного знаменника СпрощуємоМногочлен в знаменнику $$5-x^2$$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $$5-x^2=(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)$$. У результаті маємо: $$\dfrac{(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)}{x}Граничні точки многочлена $$P(x)$$ в чисельнику: $$-\sqrt{5};\sqrt{5}$$, а граничні точки многочлена $$Q(x)$$ в знаменнику: $$0$$. Загальні граничні точки: $$-\sqrt{5};0;\sqrt{5}$$.Зобразимо їх на числовій прямій:Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(\sqrt{5};\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд»: $$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \sqrt{5} - \text{мільярд} \right)}_{\lt 0} \underbrace{\left( \sqrt{5} + \text{мільярд} \right)}_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд}}}_{\gt 0} \lt 0$$

Два множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.

Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Вiдповiдь. Отже, $$x \in (-\sqrt{5};0) \cup (0;\sqrt{5})$$.

Приклад

Розв’язати нерівність $$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{x^2-9}

  • Розв’язок

  • Вiдповiдь

  • Приховати

Розв’язок.

Многочлен в знаменнику $$x^2-9$$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $$x^2-9=(x+3)(x-3)$$. В результаті маємо:

$$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{(x-3)(x+3)}Граничні точки многочлена $$P(x)$$ в чисельнику: $$-3;-2$$, а граничні точки многочлена $$Q(x)$$ в знаменнику: $$-3;3$$. Загальні граничні точки: $$-3;-2;3$$.Зобразимо їх на числовій прямій. Точка $$x=-3$$ має кратність «$$2$$» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка $$x=-2$$ має кратність «$$3$$» — малюємо дві «пелюстки»:Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(3;\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд ».$$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \text{мільярд} + 2 \right)^2}_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} + 3 \right)}_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд} + 3}}_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд} - 3}}_{\gt 0} \gt 0$$

Всі чотири множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак.

Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Вiдповiдь. Отже, $$x \in (-2;3)$$.

Скільки граничних точок має нерівність: $$\dfrac{(x-5)(x+1)(x-2)}{x^2-25}>0?$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$7$$

На скільки інтервалів розбивається числова пряма для нерівності: $$\dfrac{(x-5)(x+3)(x-3)}{x^2+9} $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$