Дробово-рацiональнi нерiвності
Визначення Дробово-раціональна нерівність — це нерівність вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}
Наприклад: $$\dfrac{2}{x}0;\quad\dfrac{x^2-3x+5}{x(3x-1)(2x-6)(x-2)}
Для розв’язання дробово-раціональних нерівностей користуються тим самим методом інтервалів.
Основна думка в цьому варіанті полягає в тому, що дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві або не існує.
Граничні точки для дробово-раціональної функції можна знайти прирівнявши нулеві як чисельник: $$P(x)=0$$ (дробово-раціональна функція рівна нулю), так і знаменник: $$Q(x)=0$$ (дробово-раціональна функція не існує).
Алгоритм Метод інтервалів
Виразити нерівність у вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}
Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$ та $$Q(x)=0$$, знайшовши граничні точки.
Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали.
Знайти знаки функції $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ на кожному інтервалі.
Обрати ті інтервали, на яких знаки $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ задовольняють вихідній нерівності.
Приклад
Два множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.
Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:
Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}
Вiдповiдь. Отже, $$x \in (-\sqrt{5};0) \cup (0;\sqrt{5})$$.
Приклад
Розв’язати нерівність $$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{x^2-9}
Розв’язок
Вiдповiдь
Приховати
Розв’язок.
Многочлен в знаменнику $$x^2-9$$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $$x^2-9=(x+3)(x-3)$$. В результаті маємо:
Всі чотири множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак.
Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:
Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}
Вiдповiдь. Отже, $$x \in (-2;3)$$.
Скільки граничних точок має нерівність: $$\dfrac{(x-5)(x+1)(x-2)}{x^2-25}>0?$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$7$$
На скільки інтервалів розбивається числова пряма для нерівності: $$\dfrac{(x-5)(x+3)(x-3)}{x^2+9} $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$
Last updated