Дробово-рацiональнi нерiвності

Визначення Дробово-раціональна нерівність — це нерівність вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Наприклад: $$\dfrac{2}{x}0;\quad\dfrac{x^2-3x+5}{x(3x-1)(2x-6)(x-2)}

Для розв’язання дробово-раціональних нерівностей користуються тим самим методом інтервалів.

Основна думка в цьому варіанті полягає в тому, що дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві або не існує.

Граничні точки для дробово-раціональної функції можна знайти прирівнявши нулеві як чисельник: $$P(x)=0$$ (дробово-раціональна функція рівна нулю), так і знаменник: $$Q(x)=0$$ (дробово-раціональна функція не існує).

Алгоритм Метод інтервалів

  1. Виразити нерівність у вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}

    Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$ та $$Q(x)=0$$, знайшовши граничні точки.

    Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали.

    Знайти знаки функції $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ на кожному інтервалі.

    Обрати ті інтервали, на яких знаки $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ задовольняють вихідній нерівності.

Приклад

Два множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.

Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Вiдповiдь. Отже, $$x \in (-\sqrt{5};0) \cup (0;\sqrt{5})$$.

Приклад

Розв’язати нерівність $$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{x^2-9}

  • Розв’язок

  • Вiдповiдь

  • Приховати

Розв’язок.

Многочлен в знаменнику $$x^2-9$$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $$x^2-9=(x+3)(x-3)$$. В результаті маємо:

Всі чотири множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак.

Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Вiдповiдь. Отже, $$x \in (-2;3)$$.

Скільки граничних точок має нерівність: $$\dfrac{(x-5)(x+1)(x-2)}{x^2-25}>0?$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$7$$

На скільки інтервалів розбивається числова пряма для нерівності: $$\dfrac{(x-5)(x+3)(x-3)}{x^2+9} $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$

Last updated