Нерiвностi з параметрами

Точно так само, як і для рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні нерівностей з параметрами полягає в наступному:

  1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у нерівності вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, зміна знака на протилежний.

  2. Знайти всi вирази для коренiв нерівності при рiзних значеннях параметрiв.

Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{x^2+3}{3-ax}>1$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Перше «контрольне» значення параметра: $$a=0$$.В такому випадку нерівність перетворюється на раціональну: $$\dfrac{x^2+3}{3}>1$$. Розв’яжемо її:$$ \begin{align} \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 1 \\ 3 \cdot \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 3 \cdot 1 \\ x^2 + 3 & \gt 3 \\ x^2 + 3 - 3 & \gt 3 - 3 \\ x^2 & \gt 0 \\ \sqrt{x^2} & \gt \sqrt{0} \\ |x| & \gt 0 \\ x & \in (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \end{align}$$Вихідна нерівність Множимо обидві частини на $$3$$ Спрощуємо Віднімаємо $$3$$ від обох частин Спрощуємо Знаходимо квадратні корені обох частин Спрощуємо Записуємо розв'язок у інтервальному виглядіЗображуємо розв’язок на числовій осі:Отже, при $$a=0$$ маємо $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty)$$.Розглядаємо тепер інші випадки, коли $$a\neq0$$.У загальному випадку застосуємо метод інтервалів.Зводимо нерівність до стандартного вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ \begin{align} \dfrac{x^2+3}{3 - ax} & \gt 1 \\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - 1 & \gt 0 \\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - \dfrac{3-ax}{3-ax} & \gt 0 \\ \dfrac{x^2 + ax}{3-ax} & \gt 0 \end{align}$$Шукаємо граничні точки, для цього розкладаємо многочлени з чисельника і знаменника на множники.В знаменнику все просто: $$3-ax = a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)$$, в чисельнику: $$x^2+ax=x(x+a)$$.Отже, нерівність можна переписати у вигляді:$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x(x+a)}{a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)}>0$$Граничні точки чисельника: $$x=0,x=-a$$; знаменника: $$x=\dfrac{3}{a}$$Для того, щоб зобразити ці точки на числовій прямій, розглядаємо два випадки:$$a>0$$: тоді має місце співвідношення $$-a$$aШукаємо знак функції на правому інтервалі і потім проставляємо знаки решти інтервалів:$$a>0$$: підставляємо тестове значення з правого інтервалу $$\left(\dfrac{3}{a};\infty \right)$$ - «мільярд»Три множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:$$aмільярд»Два множники додатні, два від’ємні – функція на цьому інтервалі має додатний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$$$a>0$$: обираємо інтервали $$(-\infty;-a)$$ та $$\left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$.$$a Вiдповiдь.Запишемо загальний результат:при $$a=0: x \in (-\infty;0) \cup (0;\infty);$$при $$a>0: x \in (-\infty;-a) \cup \left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$;при $$a

Які типи критичних значень параметра зустрінуться під час розв'язання нерівності $$\dfrac{(a-1)x^2-5x+10}{5(a-2)}>0$$? перетворення квадратичного виразу на лінійний рівність дискримінанту нулеві рівність знаменнику нулеві рівність підмодульного виразу нулеві