Формули скороченого множення

Під час виконання операцій над многочленами зручно користуватись наступними формулами:

  1. Різниця квадратів:

    $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).$$

    Наприклад: $$(a-3)(a+3)=a^2-3^2=a^2-9.$$

  2. Квадрат суми/різниці:

    $${(a \pm b)}^2 = (a^2 \pm 2ab + b^2).$$

    Наприклад: $$(5a-3)^2=(5a)^2-2\cdot(5a)\cdot3+3^2=25a^2-30a+9.$$

  3. Сума/різниця кубів:

    $$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2).$$

    Наприклад: $$(4-3y)(16+12y+9y^2 )=4^3-(3y)^3=64-27y^3.$$

  4. Куб суми/різниці:

    $$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3.$$

    Наприклад: $$(5+2x)^3 = 5^3 + 3\cdot(5)^2\cdot(2x) + 3\cdot5\cdot(2x)^2 + (2x)^3 = 125 + 150x + 60x^2 + 8x^3.$$

  5. Різниця $$n$$-х степенів:

    $$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + a^2 b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}).$$

  6. Сума $$n$$-х степенів, якщо $$n$$ - непарне:

    $$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + a^2 b^{n-3} - ab^{n-2} + b^{n-1}).$$