Розкладання многочлена на множники

  1. Винесення спільного множника за дужки. Якщо кілька доданків многочлена містять одну й ту саму змінну, то її можна винести за дужки у найменшому степені.

    Наприклад: $$21a^3 b-7ab^2+4ab+15a^5 b^7=ab\cdot(21a^2-7b+4+15a^4 b^6).$$

  2. Метод групування. В цьому методі використовується винесення многочлена за дужки. Для цього групують доданки так, щоб після винесення спільних множників, у кожній групі в дужках лишився один і той самий многочлен, який після цього виносять за дужки.

    Наприклад: $$12a^2+3ab-4b^3-16ab^2=(12a^2-16ab^2 )+(3ab-4b^3 )=4a(3a-4b^2)+$$ $$+b(3a-4b^2)=(3a-4b^2 )(4a+b).$$

Алгоритм Видiлення повного квадрата з тричлена

Вирази вигляду $$Ax^{2n}+Bx^n y^m+Cy^{2m}$$, що не є квадратами двочлена, можна розкласти на множники виділивши повний квадрат з тричлена.

Для цього потрібно:

а) записати один з доданків у вигляді квадрату деякого виразу $$X$$;

б) записати другий доданок у вигляді $$2XY$$, звідки знайти вираз $$Y$$;

в) додати та відняти одночасно квадрат виразу $$Y$$;

г) застосувати формулу квадрату суми чи різниці. Приклад

Розкласти на множники тричлен $$16x^6+40x^3 y-11y^2$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.а) Представляємо перший доданок у вигляді квадрату деякого виразу $$X$$: $$ 16x^6=$$ $$=(4x^3 )^2,$$ тоді $$X=4x^3.$$б) Шукаємо вираз $$Y$$ з другого доданку, представивши його у вигляді $$2XY$$: $$40x^3 y=2\cdot(4x^3 )\cdot(5y),$$ тоді $$Y=5y$$.в-г) Додаємо та віднімаємо $$Y^2=(5y)^2=25y^2,$$ після чого групуємо доданки, щоб утворити повний квадрат та скористатись формулою різниці квадратів:$$16x^6 + 40x^3 y - 11y^2 + 25y^2 - 25y^2 = (16x^6 + 40x^3 y + 25y^2) - 11y^2 - 25y^2 = $$ $$ = (4x^3 + 5y)^2 - 36y^2 = (4x^3 + 5y - 6y)(4x^3 + 5y + 6y) = (4x^3 - y)(4x^3 + 11y).$$Вiдповiдь. $$(4x^3-y)(4x^3+11y).$$

  1. Розкладання на множники квадратного тричлена. Кожний квадратний тричлен $$ax^2+bx+c$$ може бути розкладений на множники першого степеня наступним чином:

    $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$$

    де $$x_{1,2}$$ – корені квадратного тричлена (корені рівняння $$ax^2+bx+c=0$$).

    Вони визначаються за формулами

    $$x_{1,2} = - \dfrac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

Приклад

Розкласти многочлен $$3x^2-12x-15$$ на множники.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Знайдемо корені рівняння $$3x^2-12x-15=0:$$$$x_{1,2} = - \dfrac{-12 \pm \sqrt{(-12)^2 -4\cdot3\cdot(-15)}}{2\cdot 3} = \dfrac{12 \mp \sqrt{324}}{6} = \dfrac{12 \mp 18}{6} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = -1; \\ x_2 = 5. \end{cases}.$$Отже, скориставшись формулою розкладу маємо: $$3x^2-12x-15=3(x+1)(x-5)$$.Вiдповiдь. $$3(x+1)(x-5).$$

Винесіть спільний множник за дужки: $$2\cdot a^2\cdot b + 6\cdot a\cdot b^2 + 4\cdot a\cdot b\cdot x$$ $$6ab(\dfrac{a}{3}+b+x)$$ $$a^2 \cdot b(2+3a \cdot b + 4x)$$ $$2ab(a+3b+2x)$$