Iншi види цiлих рiвнянь

При розв’язанні цілих рівнянь вищих степенів знадобиться знання теореми Безу та схеми Горнера для ділення многочлена на двочлен.

Теорема Безу Остача від ділення многочлена $$P(x)$$ на двочлен $$x - a$$ рівна $$P(a)$$.

ДоведенняНехай остача від ділення многочлена $$P(x)$$ на двочлен рівна $$r$$, а частка — многочлен $$Q(x)$$. Тоді можна записати:$$P(x) = Q(x)\cdot(x - a) + r.$$Підставивши $$x = a$$ у многочлен $$P$$, маємо:$$P(a) = Q(a)\cdot(a - a) + r = r,$$це доводить теорему.

Алгоритм Схема Горнера

  1. Записати таблицю з двох рядків.

  2. У верхньому записують всі коефіцієнти многочлена $$P(x)$$ (повинен бути записаний у стандартному вигляді).

  3. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записують $$a$$.

  4. Нижній рядок заповнюють за таким правилом: крайнє справа число множиться на $$a$$ та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою.

  5. Отриманий результат записують у порожню клітинку.

Продемонструємо процес складання таблиці на попередньому прикладі: знайти остачу від ділення многочлена $$P(x)=x^5 - 3x^3 + x - 7$$ на $$x + 2.$$

Записуємо таблицю з двох рядків. У верхньому записуємо всі коефіцієнти многочлена $$P(x)$$. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записуємо $$a = -2$$:

Тепер заповнюємо порожні клітинки нижнього рядка:

  • перша: $$(-2)\cdot$$$$1$$ + $$0$$ $$=$$ $$-2$$,

  • друга: $$(-2)\cdot($$$$-2$$$$) + ($$$$-3$$$$) = $$$$1$$,

  • третя: $$(-2)\cdot$$$$1$$ $$+$$ $$0$$ $$=$$ $$-2$$,

  • четверта: $$(-2)\cdot($$$$-2$$$$) + $$$$1$$$$ = $$$$5$$,

  • п’ята: $$(-2)\cdot$$$$5$$$$ + ($$$$-7$$$$) = -17$$.

Як бачимо, можна тоді записати

$$x^5 - 3x^3 + x - 7 = (x + 2)(x^4 - 2x^3 +x^2 - 2x + 5) - 17.$$

Якою буде остача від ділення $$x^4+3x^3-4x^2-10$$ на $$x-2$$? $$-4$$ $$-2$$ $$14$$ $$11$$ Перший член частки $$x^3$$, тоді маємо: $$5x^3-4x^2-10.$$ Другий член частки $$5x^2$$, тоді маємо: $$6x^2-10.$$ Третій член частки $$6x$$, тоді маємо: $$12x-10.$$ Четвертий член частки $$12$$, тоді маємо остачу: $$14.$$