Рiвняння з модулями

Рiвняння з модулями

Прості рівняння з модулями

Під час розв’язання рівнянь, що містять знаки модуля, потрібно пам’ятати означення модуля (див. пункт 1.5 Модуль числа)

Розглянемо загальний вигляд простого рівняння зі знаком модуля $$|f(x)|=g(x)$$. За означенням, якщо $$g(x)

Саме тому можна користуватися рівносильним переходом:

$$|f(x)|=g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered} f(x)=g(x), \hfill \\ f(x)=-g(x), \hfill \end{gathered} \right.\\ g(x)\geq0. \end{cases}$$

Таким чином, потрібно розв’язати два рівняння $$f(x)=g(x)$$ та $$f(x)=-g(x)$$, після чого залишити лише ті корені, які задовольняють умову $$g(x)\geq0$$.

Приклад

Розв’язати рівняння $$|3x-5|=8x-1$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Скористаємось ланцюжком рівносильних переходів:$$|3x-5|=8x-1 \Longleftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered} 3x-5=8x-1, \hfill \\ 3x-5=-(8x-1), \hfill \end{gathered} \right.\\ 8x-1\geq0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered} -5x=4, \hfill \\ 11x=6, \hfill \end{gathered} \right.\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow$$$$\Longleftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x=-\dfrac{4}{5}, \hfill \\ x=\dfrac{6}{11}, \hfill \end{gathered} \right.\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow x=\dfrac{6}{11}.$$Було розв’язано два рівняння та знайдено їхні корені $$x_1=-\dfrac{4}{5};x_2=\dfrac{6}{11}$$. Після цього був відібраний лише один корінь $$x=\dfrac{6}{11}$$, щоб задовольнити означення модуля.Відповідь. $$\dfrac{6}{11}$$.

Яке з чисел є коренем рівняння $$|x-3|=4x+6$$? $$x=0$$ $$x=\dfrac{2}{3}$$ $$x=-1$$ $$x=-\dfrac{3}{5}$$