Квадратне рівняння з параметрами

Пригадаємо з попередньої лекції, що у квадратному рівнянні $$ax^2+bx+c=0$$ дискримінант визначено як:

$$D=b^2-4ac.$$

  • при $$D>0$$ рівняння має два дійсних корені: $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$;

  • при $$D=0$$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових): $$x=-\dfrac{b}{2a}$$;

  • при $$D

У квадратних рівняннях з параметрами «контрольними» є значення параметра, яке дає нульовий старший коефіцієнт (при $$x^2$$), та нульовий дискримінант (від нього залежить кількість коренів).

Приклад

Знайти значення параметра $$a$$, за яких рівняння $$(1-a)x^2+2ax+3-a=0$$ має тільки один корінь.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x^2$$ стане рівним нулеві:$$1-a=0\Longleftrightarrow a=1.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=1$$. Рівняння стане лінійним і матиме один корінь:$$0x^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+3-\dfrac{1}{2}=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}.$$Якщо $$a\neq\dfrac{1}{2}$$, то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:$$D=(2a)^2-4\cdot(1-a)\cdot(3-a)= 4a^2-(3-3a-a+a^2)=4(4a-3).$$Дискримінант рівний нулеві за іншого «контрольного» значення параметра $$a=\dfrac{3}{4}$$.Саме коли $$D=0$$ рівняння теж має один корінь.Відповідь. $$a=\dfrac{3}{4}$$ або $$a=1$$.

Приклад

Розв’язати рівняння $$(1-a^2)x^2-2(a+1)x=1$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x^2$$ стане рівним нулеві:$$1-a^2=0\Longleftrightarrow a=\pm1.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=-1$$:$$0x^2-2(-1+1)\cdot x=1\Longleftrightarrow0x=1\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=1$$:$$0x^2-2(1+1)\cdot x=1\Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}$$.Тепер розглянемо випадок $$a\neq1$$ — рівняння є квадратним.Шукаємо дискримінант:$$D=(-2(a+1))^2-4(1-a^2)\cdot(-1)=4(a^2+2a+1)+4(1-a^2)=$$$$=4(a^2+2a+1+1-a^2)=4(2a+2)=8(a+1).$$Знаходимо «контрольну» точку з умови $$D=0$$:$$8(a+1)=0\Longleftrightarrow a=-1.$$Але вже накладена умова $$a\neq\pm1$$, тому $$D\neq0$$.Дискримінант може бути лише більшим або меншим від нуля (пам’ятаємо при цьому, що $$a\neq1$$):$$a>-1\Longrightarrow D>0$$, і рівняння має два дійсних корені:$$x_{1,2} = \dfrac{2(a+1)\pm\sqrt{8(a+1)}}{2(1-a^2)}=\dfrac{a+1\pm\sqrt{2(a+1)}}{1-a^2};$$$$aУ відповіді об’єднаємо це з випадком $$a=-1$$, де теж $$x\in\emptyset.$$Відповідь. при $$a\in(-\infty;-1]$$: $$x\in\emptyset;$$при $$a\in\{1\}$$: $$x=\dfrac{1}{4};$$при $$a\in(-1;1)\cup(1;+\infty)$$: $$x_{1,2}=\dfrac{a+1\pm\sqrt{2(a+1)}}{1-a^2}.$$