Лінійне рiвняння з параметрами

В загальному випадку лінійне рівняння $$a\cdot x=b$$ теж є рівнянням з параметрами $$a$$ i $$b$$.

Це рівняння задає множину лінійних рівнянь (для всіх значень параметрів).

Наприклад: $$3x=5; -x=8$$.

Насправді це рівняння з параметрами було вже розв’язане в попередній лекції:

  • при $$a\neq0$$, рівняння має один корінь: $$x=\dfrac{b}{a}$$;

  • при $$a=0,b\neq0$$, рівняння не має жодного кореня: $$0\cdot x=b$$;

  • при $$a=0,b=0$$, рівняння має безліч коренів: $$0\cdot x=0$$.

В процесі розв’язання рівняння були розглянуті різні значення параметрів та знайдені для них корені.

Для лінійного рівняння «контрольним» є значення параметра, яке дає нульовий коефіцієнт при змінній (в даному прикладі це $$a=0$$).

Приклад

Розв’язати рівняння $$4x-n=8$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Тут нічого складного, «контрольних» значень немає, просто виражаємо $$x$$:$$x=\dfrac{8+n}{4}.$$Відповідь. $$x=\dfrac{8+n}{4}.$$

Приклад

1. Розв’язати рівняння $$(m^2-1)\cdot x=8$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знайдемо «контрольні» значення параметра $$m$$, при яких коефіцієнт при $$x$$ стане рівним нулеві:$$m^2-1=0\Longleftrightarrow m^2=1\Longleftrightarrow m=\pm1.$$Розв’яжемо рівняння при $$m=-1$$:$$((-1)^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow0\cdot x=8\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв'яжемо рівняння при $$m=1$$:$$(1^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow0\cdot x=8\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв'яжемо рівняння при $$m\neq\pm1$$:$$(m^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow x=\dfrac{8}{m^2-1}.$$Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.Відповідь. при $$m=\pm1$$, $$x\in\emptyset;$$при $$m\neq\pm1$$, $$x=\dfrac{8}{m^2-1}.$$

2. Розв’язати рівняння $$2(5-a)x+a^2=25$$.

  • Розв’язок

  • Вiдповiдь

  • Приховати

Розв'язок.

Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x$$ стане рівним нулеві:

$$2(5-a)=0\Longleftrightarrow a=5.$$

Розв’яжемо рівняння при $$a=5$$:

$$0\cdot x+5^2=25\Longleftrightarrow x\in\mathbb{R}.$$

Розв'яжемо рівняння при $$a\neq5$$:

$$2(5-a)x+a^2=25\Longleftrightarrow x=\dfrac{25-a^2}{2(5-a)}.$$

Розкладемо чисельник на множники та скоротимо на $$(5-a)$$, бо $$a\neq5$$:

$$x=\dfrac{(5+a)(5-a)}{2(5-a)}\Longleftrightarrow x=\dfrac{5+a}{2}.$$

Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.

Відповідь. при $$a=5$$, $$x\in\mathbb{R};$$

при $$a\neq5$$, $$x=\dfrac{5+a}{2}.$$