Метод підбору коренів

Теорема Якщо рівняння з цілими кофіцієнтами $$P_n(x) = 0$$ має цілі корені ($$\mathbb{Z}$$-корені), то вони є дільниками вільного доданка $$a_n$$ цього рівняння.

Доведення

Нехай $$x = a$$ — цілий корінь рівняння $$a_0x^n + a_1x^{n - 1} + a_2x^{n - 2} + \dots + a_{n - 2}x^2 + a_{n - 1}x + a_n = 0, де a_0,a_1,\dots,a_n$$ — цілі числа. Тоді виконується рівність:

$$a_0a^n + a_1a^{n - 1} + a_2a^{n - 2} + \dots + a_{n - 2}a^2 + a_{n - 1}a + a_n = 0.$$

Виразимо вільний доданок $$a_n$$:

$$a_n = -a_0a^n - a_1a^{n - 1} - a_2a^{n - 2} - \dots - a_{n - 2}a^2 - a_{n - 1}a,$$

$$a_n= -a\cdot(a_0a^{n - 1} + a_1a^{n - 2} + a_2a^{n - 3} + \dots + a_{n - 2}a + a_{n - 1}).$$

З останньої рівності випливає, що ціле число $$a$$ є дільником цілого вільного доданка $$a_n$$.

Алгоритм Розв'язання рівнянь вищих степенів $$P_n(x)=0$$

  1. Знайти множину дільників вільного доданка $$a_n$$.

  2. За т. Безу перевірити, чи є коренями дільники $$a_n$$.

  3. Якщо знайдений корінь $$x = x_1$$, розділити за схемою Горнера чи методом кута многочлен $$P_n(x)$$ на двочлен $$x - x_1$$. Часткою буде многочлен степеня $$n - 1$$: $$Q_{n - 1}(x)$$.

  4. Шукати корені рівняння $$Q_{n-1}(x) = 0$$, користуючись п.1-4, які теж є коренями вихідного рівняння (якщо такі є).

Приклад

Розв’язати рівняння $$2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30 = 0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знаходимо множину дільників вільного доданка $$-30$$ : $$\pm1$$, $$\pm2$$, $$\pm3$$, $$\pm5$$, $$\pm6$$, $$\pm10$$, $$\pm15$$, $$\pm30$$. Перевіряємо, чи є коренями знайдені дільники за схемою Горнера (працюємо завжди з верхнім рядком):$$2$$$$11$$$$-2$$$$-41$$$$-30$$$$1$$$$2$$$$13$$$$11$$$$-30$$$$-60$$не є коренем$$-1$$$$2$$$$9$$$$-11$$$$-30$$$$0$$є коренем$$2$$$$2$$$$15$$$$28$$$$15$$$$0$$є коренем$$-2$$$$2$$$$7$$$$-16$$$$-9$$$$-12$$не є коренемІнші дільники перевіряти немає сенсу — вже два корені відомі, тому після ділення отримаємо квадратне рівняння, яке легко розв’язується.Отже, $$x_1=-1$$ та $$x_2=2$$ — корені рівняння.Тому далі необхідно розділити многочлен $$P(x)$$ на $$(x+1)(x-2)$$.З таблиці вище дістаємо, що частка від ділення многочлена $$P(x)=2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30$$ на $$(x + 1)$$:$$2x^3 + 9x^2 - 11x - 30.$$Маємо $$P(x)=(x + 1)(2x^3 + 9x^2 - 11x - 30)$$. Залишилось розділити на $$(x - 2)$$.Ділимо многочлен $$2x^3 + 9x^2 - 11x - 30$$ за схемою Горнера на $$(x - 2)$$:$$2$$$$9$$$$-11$$$$-30$$$$2$$$$2$$$$13$$$$15$$$$0$$Частка від ділення: $$2x^2 + 13x + 15$$.Маємо $$P(x)=(x + 1)(x - 2)(2x^2 + 13x + 15)$$.Розв’яжемо квадратне рівняння $$2x^2 + 13x + 15$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(13)^2 - 4\cdot2\cdot15 = 49 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x_3 = \dfrac{-13 + \sqrt{49}}{2\cdot2} = -1,5; x_4 = \dfrac{-13 - \sqrt{49}}{2\cdot2} = -5.$$Таким чином всі корені знайдені, а многочлен $$P(x)$$ можна записати як:$$P(x)=(x+1)(x-2)(x+1,5)(x+5).$$Відповідь. $$\{-5; -1,5; -1; 2\}$$.

Яке з наведених чисел НЕ МОЖЕ бути коренем рівняння $$x^3-6x^2+11x-6$$? $$0$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$