Метод заміни змінної

Цей метод вже використовували для розв’язання біквадратних рівнянь.

В загальному випадку метод заміни змінної полягає ось у чому:

  1. Для розв’язання рівняння $$P(x)=0$$ вводимо нову змінну $$t=f(x)$$.

  2. Після цього $$P(x)$$ виражається через $$t$$, і в результаті записують нове рівняння $$Q(t)=0$$. Заміна повинна бути такою, щоб рівняння $$Q(t)=0$$ було простішим у розв’язанні за вихідне $$P(x)=0$$.

  3. В результаті розв’язання нового рівняння $$Q(t)=0$$ знайдені корені $$t_1, t_2,\dots, t_m$$.

  4. Тепер розв'язуємо сукупність рівнянь:$$\left[ \begin{gathered} f(x) = t_1, \hfill \\ f(x) = t_2, \hfill \\ \cdots \hfill \\ f(x) = t_m. \hfill \end{gathered} \right.$$

  5. В результаті розв’язання всіх рівнянь сукупності знаходять множину розв’язків вихідного рівняння $$P(x)=0$$: $$x_1,x_2,\dots,x_n$$.

Універсальних правил для відшукання заміни немає, все залежить від конкретного прикладу.

Приклад

Розв’язати рівняння $$(2x-5)^4-5(2x-5)^2+4=0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок. Покладемо $$t=(2x-5)^2$$, тоді вихідне рівняння зводиться до:$$t^2-5t+4=0.$$За т. Вієта, $$t_1 + t_2=5;t_1\cdot t_2=4$$. Ці умови задовольняють корені: $$t_1=1; t_2=4$$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$$\left[ \begin{gathered} (2x-5)^2=1, \hfill \\ (2x-5)^2=4; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} |2x-5|=1, \hfill \\ |2x-5|=2; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x-5=1, \hfill \\ 2x-5=-1, \hfill \\ 2x-5=2, \hfill \\ 2x-5=-2; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=3, \hfill \\ x=2, \hfill \\ x=3,5, \hfill \\ x=1,5. \hfill \\ \end{gathered} \right.$$Відповідь. $$\{1,5; 2; 3; 3,5\}.$$

Якщо у рівняннях вигляду $$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e$$ виконується рівність $$a+b=c+d=k$$ або інших пар цих чисел, зручно розкрити дужки, згрупувавши множники попарно (при рівності $$a+b=c+d$$ — перший з другим, та третій з четвертим) та скористатись заміною вигляду: $$t=x^2+kx$$.

Приклад

Розв’язати рівняння $$(x-1)(x+2)(x+4)(x+1)=-5$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок. Розкриємо дужки, групуючи перший множник з третім та другий з останнім. Рівняння набуде вигляду:$$(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)=-5.$$Робимо заміну $$t=x^2+3x$$, отримуємо таке рівняння:$$(t-4)(t+2)=-5 \Longleftrightarrow t^2-2t-3=0.$$За т. Вієта, $$t_1+t_2=2;t_1\cdot t_2=-3$$. Ці умови задовольняють корені: $$t_1=3; t_2=-1$$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$$\left[ \begin{gathered} x^2+3x=3, \hfill \\ x^2+3x=-1. \hfill \end{gathered} \right.$$Розв’язуємо перше рівняння: $$x^2+3x-3=0$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 21 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{21}}{2}; x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{21}}{2}.$$Переходимо до другого рівняння: $$x^2+3x+1=0$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot1 = 5 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x_3 = \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}; x_4 = \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}.$$Відповідь. $$\{\dfrac{-3 \pm \sqrt{21}}{2};\dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\}$$

Якою заміною скористатись при розв’язанні рівняння $$11x^4-12=4(9-3x^3)$$? $$t=x^2$$ $$t=−x$$ $$t=x^4$$ $$t=-2x^3$$