Системи алгебраїчних рiвнянь

Системи алгебраїчних рiвнянь

Системи рівнянь з двома змінними

Визначення Системa алгебраїчних рівнянь — це набір рівнянь, які повинні задовольнятися одночасно:

$$\begin{cases} F_1(x_1, x_2,\dots, x_m) = 0,\\ F_2(x_1, x_2,\dots, x_m) = 0,\\ \dots\\ F_n(x_1, x_2,\dots, x_m) = 0. \end{cases}$$

Розв’язати систему рівнянь — знайти множину всіх наборів $$x_1, x_2,\dots, x_m$$, при яких всі рівності системи є вірними.

Якщо множина розв’язків є порожньою, то таку систему рівнянь називають несумісною.

Система має розв’язок тільки в тому випадку, коли кількість змінних не більша від кількості рівнянь $$m\leq n$$. Рівносильні системи рівнянь — це системи рівнянь, множини розв'язків яких збігаються. Всі методи розв’язання систем базуються на переходах до рівносильних систем (простіших для розв’язання).

Далі будуть розглянуті методи розв’язання систем рівнянь з двома змінними:

$$\begin{cases} F_1(x, y) = 0,\\ F_2(x, y) = 0. \end{cases}$$

Розв'язки таких систем записують у вигляді множини пар чисел: $$\{(x_0; y_0), (x_1; y_1), \dots\}$$