Лiнiйнi та квадратнi рiвняння

Рівняння та його корені

Загальні відомості

Визначення Алгебраїчне рівняння — це рівність вигляду $$P(x_1, x_2,\dots,x_n) = 0$$, де $$P$$ — многочлен від змінних $$x_1, x_2,\dots,x_n$$, які ще називають невідомими.

Степенем рівняння називають степінь многочлена $$P$$.

Наприклад: $$x^5+yx^4+\sqrt{3x} = 0$$ — алгебраїчне рівняння п’ятого степеня від двох змінних.

Надалі будемо розглядати рівняння від однієї змінної. Як правило, ця змінна позначається $$x$$.

Визначення Корінь рівняння — це значення змінної $$x = a$$, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність: $$P(a) = 0$$. Таких значень може бути декілька.

Розв’язати рівняння означає знайти множину всіх його розв’язків (коренів) або ж довести, що коренів немає. Множина коренів може мати один, два, три і т.д. елементів, може бути порожньою множиною ($$x \in \emptyset$$), або ж нескінченою множиною ($$x \in \mathbb{R}$$).

Рівняння не може мати більше коренів, ніж степінь цього рівняння.

Приклад

1. Рівняння $$x + 5 = 1$$ має один корінь: $$x = -4$$.

2. Рівняння $$(x - 4)(x - 3)(x + 3) = 0$$ має три корені: $$-3, 3$$ та $$4$$. Кожне з цих значень перетворює добуток $$(x - 4)(x - 3)(x + 3)$$ на нуль, а при будь-яких інших значеннях — ні.

3. Рівняння $$3x = 3x - 1$$ не має коренів, бо права частина при будь-яких значеннях $$x$$ буде меншою за ліву.

4. Рівняння $$2x + 6 = 2(x + 3)$$ має нескінченну кількість коренів, бо після розкриття дужок ліва частина рівняння дорівнюватиме правій при будь-яких значеннях $$x$$.

Визначення Область визначення рівняння — це ОДЗ змінної рівняння, тобто множина значень змінної, при яких обидві частини рівняння є змістовними.

Рівносильними називають рівняння, множини розв’язків яких збігаються. Між рівносильними рівняннями ставлять значок $$\Longleftrightarrow$$.

Наприклад: рівняння $$(x - 5)(x + 5) = 0$$ та $$x^2 = 25$$ мають одні й ті самі корені: $$-5$$ та $$5$$. Тому можна записати $$(x - 5)(x + 5) = 0 \Longleftrightarrow x^2 = 25$$.

Скільки коренів має рівняння $$x+3=0$$? $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$

Скільки коренів має рівняння $$(x+3)(x+3)(x-2)(x+5)=0$$? $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$