Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних

Визначення Біквадратне рівняння — це рівняння вигляду $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$, де $$x$$ — змінна, а числа $$a$$, $$b$$ та $$c$$ — відомі, при чому $$a \neq 0$$.

Взагалі будь-яке рівняння вигляду $$ax^{2n} + bx^n + c =0$$ (в тому числі і біквадратне) можна звести до квадратного заміною $$x^n = t$$ (для біквадратного $$x^2 = t$$).

Приклад

$$2x^4 + 4x^2 - 48 = 0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Зробимо заміну $$x^2 = t$$:$$2t^2 + 4t - 48 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot2\cdot(-48) = 16 + 384 = 400 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$$t_1 = \dfrac{-4 + \sqrt{400}}{2\cdot2} = 4; t_2 = \dfrac{-4 - \sqrt{400}}{2\cdot2} = -6.$$Повертаємось до змінної $$x$$:$$x^2 = 4;$$$$x^2 = -6.$$З першого рівняння маємо $$x_{1,2} = \pm 2$$, а з другого — $$x \in \emptyset$$.Відповідь. $$x_{1,2} = \pm 2$$.

Приклад

$$x^8 - 17x^4 + 16 = 0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Зробимо заміну $$x^4 = t$$:$$t^2 - 17t + 16 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$$t_1 = \dfrac{17 + \sqrt{225}}{2\cdot1} = 16; t_2 = \dfrac{17 - \sqrt{225}}{2\cdot1} = 1.$$Повертаємось до змінної $$x$$:$$x^4 = 16;$$$$x^4 = 1.$$З першого рівняння маємо $$x_{1,2} = \pm 2$$, а з другого — $$x_{3,4} = \pm 1$$.Відповідь. $$x \in \{\pm 1; \pm2\}$$.

Розв'язати рівняння: $$x^4-16x^2-225=0$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=3$$ $$x=-3$$

Зробимо заміну $$y = x^2$$, тоді біквадратне рівняння матиме вигляд:

$$y^2-16y-225=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(-16)^2-4\cdot1\cdot(-225)=256+900=1156$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$y_{1,2}=\dfrac{16\pm34}{2\cdot1}={25,-9}$$

Маємо два квадратних рівняння:

$$(1) x^2=-9$$

$$(2) x^2=25$$

Перше квадратне рівняння не має дійсних коренів. Друге квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$x_{1,2}=\pm5$$

Розв'язати рівняння: $$x^4+97x^2+1296=0$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=4$$ $$x=-4$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-7$$

Зробимо заміну \(y = x^2\), тоді біквадратне рівняння матиме вигляд:

$$y^2+97y+1296=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(97)^2-4\cdot1\cdot1296=9409-5184=4225$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$y_{1,2}=\dfrac{-97\pm65}{2\cdot1}={-81,-16}$$

Маємо два квадратних рівняння:

$$(1) x^2=-81$$

$$(2) x^2=-16$$

Перше і друге квадратні рівняння не мають дійсних коренів.

$$x \in \emptyset$$