Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)

Теорема

Якщо $$x_{1,2}$$ — корені квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$, то справедлива тотожність:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$.

Ця формула вже зустрічалася у розділі 3.6 Розкладання многочлена на множники. Цього разу наводимо її з доведенням.

Доведення У розділі 6.3.3 Повне квадратне рівняння та дискримінант за допомогою рівносильних перетворень ми отримали таке:

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}).$$

Якщо тепер обидві частини розділити на $$4a^2$$, отримаємо:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right)\left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right).$$

Скориставшись формулою для знаходження коренів квадратного рівняння, маємо:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x_1)(x - x_2).$$

Помноживши обидві частини рівняння на $$a$$, маємо тотожність з теореми:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$$

Теорема (обернена)

Якщо виконується тотожність $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$, то квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ матиме корені $$x_1$$ та $$x_2$$.