Повне квадратне рівняння та дискримiнант

Скористаємось процедурою виділення повного квадрата з тричлена, яку ви можете знайти у розділі Розкладання многочлена на множники:

$$ax^2 + bx + c = 0.$$

Перед цим домножимо повне квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на $$4a$$:

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$

Представляємо перший доданок у вигляді квадрата деякого виразу $$X$$:

$$(2ax)^2 + 4abx + 4ac = 0.$$

Отже, вираз $$X = 2ax$$.

Другий доданок переписуємо так, щоб він мав вигляд $$2XY$$:

$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + 4ac = 0.$$

Звідки вираз $$Y = b$$.

Додаємо та віднімаємо $$Y^2 = b^2$$:

$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + b^2 - b^2 + 4ac = 0.$$

Виділяємо повний квадрат $$(X + Y)^2$$ з отриманого виразу:

$$(2ax + b)^2 - b^2 + 4ac =0,$$

$$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$$

Для зручності позначимо $$b^2 - 4ac = D$$. Тоді тотожність матиме вигляд:

$$(2ax + b)^2 = D.$$

Можливі три випадки: $$D > 0, D = 0$$ та $$D

  1. $$D > 0$$. В такому випадку з $$D$$ можна добути корінь: $$D = (\sqrt{D})^2$$.

    Тоді після заміни та застосування формули різниці квадратів маємо рівняння:

    $$(2ax + b)^2 = (\sqrt{D})^2 \Longleftrightarrow (2ax + b)^2 - (\sqrt{D})^2 = 0 \Longleftrightarrow (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}) = 0.$$

    За однією з властивостей рівносильних перетворень добуток множників рівний нулеві, якщо хоча б один з множників рівний нулеві. Тоді отримуємо:

    $$\left[ \begin{gathered} 2ax + b - \sqrt{D} = 0 \hfill \\ 2ax + b + \sqrt{D} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow \begin{cases} x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a},\\ x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \end{cases}$$

    Таким чином, при $$D > 0$$ рівняння має два корені, що відрізняються лише знаком при $$\sqrt{D}$$. Коротко їх записують у такий спосіб:

    $$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

  2. $$D = 0$$. В такому випадку маємо $$(2ax + b)^2 = 0 \Longleftrightarrow 2ax + b = 0 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{b}{2a}$$.

    Цей корінь можна також отримати і з вищенаведеної формули для коренів $$x_{1,2}$$, поклавши в ній $$D = 0$$.

    Таким чином, при $$D = 0$$ рівняння має один корінь (а точніше, два однакових корені).

  3. $$D

Визначення За знаком виразу $$D = b^2 - 4ac$$ можна визначити, скільки дійсних коренів матиме рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Цей вираз $$D$$ називають дискримінантом.

  • при $$D > 0$$ рівняння має два дійсних корені;

  • при $$D = 0$$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових);

  • при $$D

Визначення Формула коренів квадратного рівняння:

$$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

Приклад

  1. Розв’язати рівняння: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $$D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1 > 0$$, отже рівняння має два дійсних корені:$$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3$$; $$x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2.$$Відповідь. $$x_1 = 3$$, $$x_2 = 2.$$

  2. Розв’язати рівняння: $$x^2 + 4x + 4 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0$$, отже, рівняння має один дійсний корінь:$$x = \dfrac{-4}{2\cdot1} = -2.$$Відповідь. $$x = -2.$$

  3. Розв’язати рівняння: $$3x^2 + 2x + 1 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $$D = (2)^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8Відповідь. $$x \in \emptyset.$$

Розв'язати рівняння: $$x^2+3x-3=7$$ $$x=2$$ $$x=0$$ $$x=-2$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

$$x^2+3x-3-7=0$$

$$x^2+3x-10=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$x_{1,2}=\dfrac{-3\pm7}{2\cdot1}=\{2,-5\}$$

Розв'язати рівняння: $$5x^2-5x=x-5$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

$$5x^2-5x-x+5=0$$

$$5x^2-6x+5=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(6)^2-4\cdot5\cdot5=36-100=-64$$

Через те, що дискримінант менше нуля, квадратне рівняння не має дійсних коренів.

$$x \in \emptyset$$