Теорема Вiєта

Можна поділити всі коефіцієнти квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на старший коефіцієнт $$a$$: $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$$. Таке рівняння називають зведеним. Визначення Зведене квадратне рівняння — квадратне рівняння, у якого коефіцієнт при $$x^2$$ рівний одиниці, тобто $$a = 1$$.

Наприклад: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$; $$x^2 - x = 0.$$

У пункті 6.3.4 Факторизацiя квадратного рiвняння (розкладання на множники) було виведено тотожність $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x_1)(x - x_2)$$.

Якщо розкрити дужки у правій частині тотожності:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 - x_2x - x_1x +x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2.$$

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях $$x$$, отримуємо такі співвідношення:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},$$

$$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}.$$

Ці тотожності вперше отримав Франсуа Вієт у XVI ст., вони лежать в основі теореми Вієта. Теорема Вієта Сума коренів квадратного рівняння рівна коефіцієнту при $$x$$, взятому з протилежним знаком та поділеному на коефіцієнт при $$x^2$$; добуток коренів рівний вільному доданку, поділеному на коефіцієнт при $$x^2$$:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},$$

$$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}.$$ Теорема (обернена до т. Вієта)

Якщо для двох чисел $$x_1$$ та $$x_2$$ виконуються рівності:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$$, $$x_1x_2 = \dfrac{c}{a},$$

то числа $$x_1$$ та $$x_2$$ є коренями квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Приклад

Знайти $$|x_1 - x_2|$$, де $$x_{1,2}$$ — корені рівняння $$2x^2 + 2x - 12$$.

Розв’язок

Вiдповiдь

Приховати

Розв’язок.

За теоремою Вієта: $$x_1 + x_2 = -1; x_1x_2 = -6$$.

Запишемо з формул скороченого множення рівність $$(x_1 - x_2)^2 = {x_1}^2 - 2x_1x_2 + {x_2}^2$$. Якщо додати та відняти $$2x_1x_2$$ та скористатися формулою квадрату суми, маємо:

$$(x_1 - x_2)^2 = {x_1}^2 - 2x_1x_2 + {x_2}^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = ({x_1}^2 + 2x_1x_2 + {x_2}^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2.$$

Підставивши числа, знайдені за т. Вієта, маємо $$(x_1 - x_2)^2 = (-1)^2 - 4\cdot(-6) = 25.$$

Таким чином, $$|x_1 - x_2| = 5$$.

Відповідь. $$5$$.

Чому дорівнює модуль різниці коренів рівняння $$x^2 - 4x + 4 = 1$$? $$4$$ $$3$$ $$2$$ $$1$$

Перенесемо всі доданки у ліву частину рівняння:

$$x^2-4x+3=0$$

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: $$x_{1,2} = {1; 3}$$

Тоді модуль різниці коренів дорівнює: $$|3-1|= 2$$