Дробово-раціональне рівняння

Повернемося до вихідного рівняння. Воно містило змінну в знаменнику дробу, і таке рівняння називається дробовим раціональним.

Визначення Дробово-раціональне рівняння — це рівняння вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$, де $$P(x),Q(x)$$ – многочлени, а $$x$$ – змінна.

Наприклад: $$\dfrac{1}{x}=2;\quad \dfrac{x(x+3)}{x-1}=0;\quad \dfrac{5x^2+x+1}{3-x+x^3}-\dfrac{1}{x}=6.$$

Розв’язувати дробові раціональні рівняння не складніше, ніж звичайні раціональні. Головне – пам’ятати про ОДЗ знаменника.

Алгоритм Дробове раціональне рівняння

  1. Виразити рівняння у вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$, де $$P(x),Q(x)$$ – многочлени.

  2. Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$.

  3. Перевірити знайдені корені, щоб вони задовольняли ОДЗ знаменника: $$Q(x_i)\neq0$$.

Приклад Знайти корені рівняння $$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} = -\dfrac{x}{x+3}$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Користуємося вищезазначеним алгоритмом.Перетворюємо рівняння до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$:$$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} = - \dfrac{x}{x+3}$$Вихідне рівняння$$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x}{x+3} = 0$$Додаємо $$\dfrac{x}{x+3}$$ до обох частин та спрощуємо$$\dfrac{x-3+x+3+(x+1)x}{\color{#1570bd}(\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd})\color{#1570bd}(\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}1\color{#1570bd})} = 0$$Зводимо до спільного знаменника$$\dfrac{\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x}{(x+3)(x+1)} = 0$$Спрощуємо$$\dfrac{\color{#1570bd}x(x+3)}{(x+3)(x+1)} = 0$$Виносимо $$x$$ в чисельнику за дужкиРозв’язуємо рівняння з чисельника:$$x(x+3) = 0$$Вихідне рівняння$$\left[ \begin{array}{} x = 0 \\ x + 3 = 0 \end{array} \right.$$Добуток множників рівний нулю записати як сукупність множників, кожен з яких рівний нулю$$\left[ \begin{array}{} x = 0 \\ x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3 = 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3 \end{array} \right.$$У другому рівнянні віднімемо $$3$$ від обох частин$$\left[ \begin{array}{} x_1 = 0 \\ x_2 = - 3 \end{array} \right.$$СпрощуємоТепер поглянемо на знаменник. ОДЗ такого дробу знаходимо з умови $$(x+3)(x+1)\neq0$$. Отже, отримуємо ОДЗ: $$x\neq-3;x\neq-1$$.Серед знайдених двох коренів ОДЗ задовольняє лише один $$x=0$$.Вiдповiдь. $$x=0$$.

Приклад Знайти корені рівняння $$\dfrac{x^2-14x+2}{x^2+4x+2}+1=\dfrac{5x}{x^2-3x+2}.$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Перед нами дробове раціональне рівняння. Зводимо його до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$.Скористаємося одним трюком. Якщо уважно придивитися до коефіцієнтів квадратних тричленів у рівнянні, можна побачити, що деякі з них збігаються:Якщо в такому рівняння поділити і чисельник, і знаменник на $$x$$ – можна буде зробити дуже вдалу заміну. Але спочатку треба перевірити, чи не є $$x=0$$ коренем рівняння, бо на $$0$$ ділити не можна:$$\dfrac{0^2-14 \cdot 0+2}{0^2+4\cdot0+2} +1 = \dfrac{5\cdot0}{0^2-3\cdot0+2}\Longleftrightarrow \dfrac{2}{2}+1=0$$Така рівність не справджується, тому можна спокійно ділити і чисельник, і знаменник дробів на $$x$$:$$\dfrac{\dfrac{x^2 - 14x + 2}{\color{#1570bd}x}}{\dfrac{x^2 + 4x + 2}{\color{#1570bd}x}} + 1 = \dfrac{\dfrac{5x}{\color{#1570bd}x}}{\dfrac{x^2-3x+2}{\color{#1570bd}x}}$$Ділимо чисельник і знаменник дробів на $$x$$$$\dfrac{\color{#1570bd}x - 14 + \dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}}{\color{#1570bd}x + 4 + \dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}} + 1 = \dfrac{5}{\color{#1570bd}x-3+\dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}}$$Спрощуємо$$\dfrac{t-14}{t+4} + 1 = \dfrac{5}{t-3}$$Робимо заміну $$t= x + \dfrac{2}{x}$$$$\dfrac{t-14}{t+4} + 1 - \dfrac{5}{t-3} = 0$$Збираємо всі доданки в лівій частині$$\dfrac{2t^2 - 21t + 10}{(t-3)(t+4)} = 0$$Зводимо до спільного знаменника та спрощуємоРозв’язуємо рівняння з чисельника:$$2t^2 - 21t + 10 = 0$$Вихідне рівняння$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 441 - 80 = 361$$Шукаємо дискримінант$$t_{1,2} = \dfrac{21 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \dfrac{21 \pm 19}{4}$$Дискримінант додатний, шукаємо корені$$\left[ \begin{array}{} t_1 = 10, \\ t_2 = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$$Спрощуємо та обчислюємо значення коренівПоглянемо на ОДЗ змінної, знаменник повинен бути відмінним від нуля: $$(t-3)(t+4)\neq0$$. Це дає два заборонених значення змінної: $$t\neq3;t\neq-4$$. Обидва знайдені значення задовольняють ОДЗ.Повертаємося до вихідної змінної $$x$$ і отримуємо ще два дробових раціональних рівняння:$$\left[ \begin{gathered} x + \dfrac{2}{x} = 10, \hfill \\ x + \dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$Оскільки раніше ми вже перевірили, що $$x\neq0$$ – можемо спокійно домножити обидві частини рівнянь на $$x$$ та розв’язати отримані квадратні рівняння:$$\left(x + \dfrac{2}{x} \right)\cdot x=10\cdot x$$$$\left(x + \dfrac{2}{x} \right)\cdot x= \dfrac{1}{2}\cdot x$$$$x^2+2=10x$$$$x^2+2=\dfrac{x}{2}$$$$x^2-10x+2=0$$$$x^2-\dfrac{x}{2}+2=0$$$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot2=92>0$$$$D=\left(-\dfrac{1}{2} \right)^2-4\cdot1\cdot2=-\dfrac{31}{4}$$x_{1,2}=\dfrac{10\pm\sqrt{92}}{2}=5\pm\sqrt{23}$$$$x \in \emptyset$$Отже, вихідне рівняння має корені $$x_{1,2}=5\pm\sqrt{23}$$.Вiдповiдь. $$x_{1,2}=5\pm\sqrt{23}$$.

Розв’яжіть рівняння: $$\dfrac{7x-2}{2x-7}=1$$ $$x=-1$$ $$x=7$$ $$x=5$$ $$x=-2$$

Претворимо рівняння до вигляду: $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0$$

$$\dfrac{(7x-2)-(2x-7)}{2x-7}=0$$

Розв’язуємо рівняння чисельника:

$$7x-2-2x+7=0$$

$$x=-1$$

Звернемо увагу на знаменник: $$x\neq\dfrac{7}{2}$$.

Отже, відповідь $$x=-1.$$