Раціональні рівняння з параметрами

Точно так само, як і для інших видів рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні полягає в такому:

  1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у рівнянні вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, вираз у знаменнику обертається на нуль.

  2. Знайти всi вирази для коренiв рiвняння при рiзних значеннях параметрiв.

Приклад Розв’язати рівняння $$\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Маємо дробове раціональне рівняння.Зводимо його до стандратного вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$:$$\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$$$\dfrac{1-x}{1-x}\cdot\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+2}{ax+2}\cdot\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$$$\dfrac{(1-x)(x+5)+(ax+2)(ax-4)}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$\dfrac{x+5-x^2-5x+(ax)^2-4ax+2ax-8}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$\dfrac{({a^2}-1)x^2-(2a+4)x-3}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$(a^2-1) x^2-(2a+4)x-3=0$$По-перше, розглянемо «контрольні» значення параметра $$a=\pm1$$. Рівняння стане лінійним та матиме один корінь:При $$a=1$$:$$-(6\cdot1+2)x-3=0$$$$-2x-9=0$$$$x=-\dfrac{9}{2}$$При $$a=-1$$:$$-(6\cdot(-1)+2)x-3=0$$$$-2x+3=0$$$$x=-\dfrac{3}{2}$$Якщо $$a\neq\pm1$$, то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:$$D=(2a+4)^2-4\cdot(a^2-1)\cdot(-3)=4a^2+16a+16+12a^2-12=$$$$=16a^2+16a+4=4(4a^2+4a+1)=4(2a+1)^2\geq0$$Наступну контрольну точку шукаємо з умови $$D=0$$:$$4(2a+1)^2=0 \Longleftrightarrow 2a+1=0 \Longleftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$$Шукаємо розв’язок при $$a=-\dfrac{1}{2}$$:$$x=\dfrac{2\left(-\dfrac{1}{2} \right)+4}{2\left( \left(-\dfrac{1}{2} \right)^2-1 \right)}=-2$$В решті випадків, коли $$a \notin \left\{-1;-\dfrac{1}{2};1 \right\}$$, рівняння має два корені:$$x_{1,2} = \dfrac{2a+4\pm\sqrt{4(2a+1)^2}}{2(a^2-1)}=\dfrac{a+2\pm|2a+1|}{a^2-1}$$Розглянемо два випадки для позбавлення значка модуля:При $$a>-\dfrac{1}{2}$$:$$x_1=\dfrac{a+2+(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{3a+3}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3}{a-1}$$$$x_2=\dfrac{a+2-(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{-a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{-1}{a+1}$$При $$a$$x_1=\dfrac{a+2-(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{-a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{-1}{a+1}$$$$x_2=\dfrac{a+2+(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{3a+3}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3}{a-1}$$Бачимо, що корені на цих двох проміжках однакові, тому у відповіді будемо це записувати спільним інтервалом для параметра $$a$$:При $$a \notin \left\{-1;-\dfrac{1}{2};1 \right\}$$:$$x_1=\dfrac{-1}{a+1}$$$$x_2=\dfrac{3}{a-1}$$Єдине, що залишилось, – відкинути ті корені, які не входять в ОДЗ. Зі знаменника вихідного дробового рівняння$$\dfrac{(a^2-1) x^2-(2a+4)x-3}{(ax+2)(1-x)}=0$$отримуємо умову $$(ax+2)(1-x)\neq0$$. Отже, ОДЗ: $$x\neq1;x\neq-\dfrac{2}{a},a\neq0$$.Тепер головне – не заплутатись при відборі коренів. Для одного значення параметра $$a$$ квадратне рівняння дає нам два корені. Маючи ОДЗ для змінної $$x$$ та вирази для коренів, ми можемо знайти саме ті значення параметра $$a$$, які дають заборонені значення змінної $$x$$. Такі значення параметра $$a$$ теж будуть «контрольними». Але при цих «контрольних» значеннях один корінь є точно заборонений (звідки ми й знайшли це значення параметра), а ось другий скоріше за все – ні (це треба перевірити).В результаті для більшості значень параметра $$a$$ у відповіді буде два корені, а для таких «контрольних» значень – лише один (або жодного).Зараз виконуємо таку послідовність дій:Шукаємо «контрольні» значеннях параметра, що дають заборонені значення $$x$$.Шукаємо дозволені значення другого (іншого з двох) кореня при «контрольних» значення параметра $$a$$.Вперед!Шукаємо «контрольні» значення параметра $$a$$. Для цього прирівняємо знайдені вирази для коренів по черзі до заборонених значень $$x$$, та звідти виразимо $$a$$:$$x_1(a) = 1: \quad \dfrac{-1}{a+1} = 1 \Longleftrightarrow a = -2$$$$x_2(a) = 1: \quad \dfrac{3}{a-1} = 1 \Longleftrightarrow a = 4$$$$x_1(a) = -\dfrac{2}{a}, a\neq0: \quad \dfrac{-1}{a+1} = -\dfrac{2}{a} \Longleftrightarrow a = 2(a+1)\Longleftrightarrow a = -2$$$$x_2(a) = -\dfrac{2}{a}, a\neq0: \quad \dfrac{3}{a-1} = -\dfrac{2}{a} \Longleftrightarrow 3a = -2(a-1)\Longleftrightarrow a = \dfrac {2}{5}$$Знайшли три «контрольних» значення параметра $$a: -2;4;\dfrac{2}{5}$$.Шукаємо тепер дозволені значення $$x$$ при «контрольних» значення параметра:При $$a=-2$$:$$x_1 (-2)=1$$ – заборонене значення, шукаємо $$x_2$$:$$x_2 (-2)=\dfrac{3}{-2-1}=-1\neq1$$ – дозволене значення.При $$a=4$$:$$x_2 (4)=1$$ – заборонене значення, шукаємо $$x_1$$:$$x_1 (4)=\dfrac{-1}{4+1}=-\dfrac{1}{5}\neq1$$ – дозволене значення.При $$a=\dfrac{2}{5}$$:$$x_2 \left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{3}{\dfrac{2}{5}-1}=-5$$ – заборонене значення, шукаємо $$x_1$$:$$x_1 \left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{-1}{\dfrac{2}{5}+1}=-\dfrac{5}{7}\neq-5$$ – дозволене значення.Тепер головне не заплутатись і перерахувати всі розглянуті випадки: Вiдповiдь.При $$a = -2: \quad x = -1;$$при $$a = -1: \quad x = -\dfrac{3}{2};$$при $$a = -\dfrac{1}{2}: \quad x = -2;$$при $$a = \dfrac{2}{5}: \quad x = -\dfrac{5}{7};$$при $$a = 1: \quad x = -\dfrac{9}{2};$$при $$a = 4: \quad x = -\dfrac{1}{5};$$при $$a \notin \left\{-2;-1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{4};1;4 \right\}: \quad x_1 = \dfrac{-1}{a+1}, x_2 = \dfrac{3}{a-1}.$$

За яких значень параметра $$a$$ рівняння $$\dfrac{a-x}{x^2+x-72}=0$$ не матиме коренів? $$-9$$ $$-5$$ $$0$$ $$8$$ $$10$$ $$14$$