Метод алгебраїчного додавання

Якщо замість одного рівняння записати лінійну комбінацію рівнянь (суму рівнянь, кожне з яких помножено на довільне число), а друге залишити незмінним, то отримана система рівнянь буде рівносильна вихідній:

$$\begin{cases} F_1(x, y) = 0,\\ F_2(x, y) = 0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a\cdot F_1(x, y) + b\cdot F_2(x, y) = 0,\\ F_2(x, y) = 0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F_1(x, y) = 0,\\ c\cdot F_1(x, y) + d\cdot F_2(x, y) = 0; \end{cases}$$

де $$a, b, c, d \in \mathbb{R}$$.

Інколи зручно замість обох рівнянь записати різні їхні лінійні комбінації (наприклад, суму та різницю рівнянь).

Після спрощення системи методом алгебраїчного додавання часто також потрібно застосовувати метод підстановки, розглянутий вище.

Приклад

Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ x - 6y = 10. \end{cases}$$

Розв’язок 1 Розв’язок 2 Вiдповiдь ПриховатиПерший варіант.Помножимо друге рівняння системи на $$-3$$ та додамо до нього перше (зверніть увагу: ліву частину додаємо до лівої, а праву — до правої), тоді змінна $$x$$ у другому рівнянні знищиться:$$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ x - 6y = 10; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ -3x + 18y = -30; \end{cases} \Longleftrightarrow$$$$\Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ -3x + 18y + 3x + 5y = -30 + 7; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ 23y = -23. \end{cases}$$З другого рівняння знаходимо $$y_0 = -1.$$Підставимо це значення в перше рівняння:$$3x_0 + 5\cdot(-1) = 7 \Longleftrightarrow x_0 = 4.$$Другий варіант.Помножимо друге рівняння системи на $$-3$$ та додамо до нього перше, і,так само, помножимо перше рівняння на $$\dfrac{6}{5}$$ та додамо до нього друге:$$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ x - 6y = 10; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y - 3(x - 6y)= 7 - 3\cdot10,\\ x - 6y + \dfrac{6}{5}(3x + 5y) = 10 +\dfrac{6}{5}\cdot7. \end{cases}$$Розкривши дужки та звівши подібні доданки, бачимо, що в першому рівнянні зникає змінна $$x$$, а в другому — $$y$$:$$\begin{cases} 3x + 5y - 3x + 18y= -23,\\ x - 6y + \dfrac{6}{5}(3x + 5y) = 10 +\dfrac{6}{5}\cdot7; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 23y= -23,\\ \dfrac{23}{5}x = \dfrac{92}{5}; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y_0= -1,\\ x_0 = 4. \end{cases}$$Відповідь. $$(4; -1).$$

Вкажіть множину розв'язків системи рівнянь: $$\begin{cases}x-y=1, \\ x+y=2. \end{cases}$$ $$\{\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\}$$ $$\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\}$$ $$\{\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\}$$ $$\{-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\}$$ Додамо перше і друге рівняння: $$\begin{cases}x-y=1, \\ 2x=3. \end{cases}$$ Звідси знаходимо розв'язок системи рівнянь: $$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}, \\ x=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$$