Метод підстановки

Якщо з одного рівняння системи можна виразити одну змінну через іншу (наприклад, $$y = f(x)$$, або навпаки), то після підстановки отриманого виразу в друге рівняння отримана система рівнянь рівносильна вихідній:

$$\begin{cases} F(x, y) = 0,\\ y = f(x); \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F(x, f(x)) = 0,\\ y = f(x). \end{cases}$$

Після цього розв’язуємо рівняння $$F(x, f(x)) = 0$$ з однією змінною $$x$$. Для отримання значень $$y$$ знайдені значення $$x$$ підставляємо у рівняння $$y = f(x)$$.

Цей метод зручно використовувати, коли хоча б одна зі змінних присутня лише в першому степені.

Приклад

Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} x + y = 1,\\ x^2 - y^2 = 2y. \end{cases}$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.З першого рівняння виражаємо $$x$$ через $$y$$: $$x + y = 1 \Longleftrightarrow x = 1 - y.$$Підставляємо цей вираз у друге рівняння:$$(1 - y)^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y + y^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y = 2y \Longleftrightarrow y = \dfrac{1}{4}.$$Отже, $$y_0 = \dfrac{1}{4}.$$Знаходимо значення $$x_0$$, підставиши $$y_0$$ в перше рівняння:$$x_0 = 1 - y_0 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.$$Відповідь. $$\left(\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{4}\right).$$

Розв'язати систему рівнянь: $$\begin{cases} x+y=1\\ x-y=7 \end{cases}$$ $$(4;-3)$$ $$(4;3)$$ $$(-4;-3)$$ $$(-4;3)$$

Виразимо $$x$$ через $$y$$:

$$\begin{cases} x=1-y\\ x-y=7 \end{cases}$$

Підставимо у друге рівняння $$x$$ і спростимо систему:

$$\begin{cases} x=1-y\\ 1-y-y=7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=1-y\\ -2y=6 \end{cases}$$

Помножимо друге рівняння системи на $$-\dfrac{1}{2}$$:

$$\begin{cases} x=1-y\\ y=-3 \end{cases}$$

Тепер, знаючи значення $$y$$, знайдемо значення $$x$$:

$$\begin{cases} x=1-(-3)\\ y=-3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=4\\ y=-3 \end{cases}$$

Розв'язати систему рівнянь: $$\begin{cases} 3x+5y=21\\ 8x-3y=7 \end{cases}$$ $$(2;-3)$$ $$(-2;3)$$ $$(2;3)$$ $$(-2;-3)$$

Перше рівняння помножимо на $$\dfrac{1}{3}$$, і виразимо $$x$$ через $$y$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\ 8x-3y=7 \end{cases}$$

Підставимо у друге рівняння $$x$$ і спростимо систему:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\ 8(-\dfrac{5}{3}y+7)-3y=7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\ -\dfrac{49}{3}y=-49 \end{cases}$$ Помножимо друге рівняння системи на $$-\dfrac{3}{49}$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\ y=3 \end{cases}$$

Тепер, знаючи значення $$y$$, знайдемо значення $$x$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}\cdot3+7\\ y=3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=2\\ y=3 \end{cases}$$