Метод заміни змінної

Інколи зручно зробити заміну змінних, але її вигляд залежить від конкретного прикладу.

Часто користуються заміною:

$$\begin{cases} x + y = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}$$

Приклад

Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 4,\\ x + y + xy = 3. \end{cases}$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Зробимо заміну змінних: $$\begin{cases} x + y = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}.$$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$$x^2 + y^2 + x + y = x^2 + y^2 + 2xy - 2xy + x + y = (x + y)^2 + x + y - 2xy = u^2 + u - 2v.$$Тепер можна записати:$$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\ u + v = 3. \end{cases}.$$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $$2$$ та додамо до першого:$$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + u - 2v + 2(u + v)= 4 + 2\cdot3,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + 3u - 10= 0,\\ u + v = 3. \end{cases}$$Розв’яжемо перше рівняння та знайдемо $$u$$.За т. Вієта $$u_1 + u_2 = -3; u_1u_2 = -10.$$Ці умови задовольняють корені: $$u_1 = -5; u_2 = 2.$$Тепер потрібно розв’язати дві системи рівнянь:$$u = -5: \begin{cases} u = -5,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = -5,\\ v = 8; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = -5,\\ xy = 8. \end{cases}$$Тут можна скористатись методом підстановки, але простіше — згадати т. Вієта. Нехай $$t = x$$ та $$t = y$$ — корені квадратного рівняння:$$t^2 + 5t + 8 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = 5^2 - 4\cdot1\cdot8 = 25 - 32 = -7$$u = 2: \begin{cases} u = 2,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = 2,\\ v = 1; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = 2,\\ xy = 1. \end{cases}$$Тут також скористаємося т. Вієта, як і в попередньому випадку. Нехай $$t = x$$ та $$t = y$$ — корені квадратного рівняння:$$t^2 - 2t + 1 = 0 \Longleftrightarrow (t - 1)^2 = 0 \Longleftrightarrow t = 1.$$Маємо два рівних корені: $$t = x = y = 1.$$Відповідь. $$(1; 1).$$

Приклад

Розв’язати систему рівнянь: $$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Робимо рівносильні переходи:$$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\ x\cdot y = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^4 + y^4 + x^2 + y^2 = 92,\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$$Зробимо заміну змінних: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}$$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = u^2 - 2v^2.$$Тепер можна записати:$$\begin{cases} u^2 - 2v^2 + u = 92,\\ v = 3. \end{cases}$$Підставляємо $$v = 3$$ в перше рівняння:$$u^2 - 18 + u = 92 \Longleftrightarrow u^2 + u - 100 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-110) = 441 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$u_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{441}}{2} = 10; u_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{441}}{2} = -11.$$Від’ємний корінь відкидаємо, бо $$u = x^2 + y^2 \geq 0$$ — завжди невід’ємна величина.В результаті:$$\begin{cases} u = 10,\\ v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3. \end{cases}$$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $$2$$, а тоді додамо і віднімемо від першого рівняння:$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 2\cdot3,\\ x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 2\cdot3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (x + y)^2 = 16,\\ (x - y)^2 = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} |x + y| = 4,\\ |x - y| = 2. \end{cases}$$Потрібно розглянути чотири випадки:$$x + y > 0, x - y > 0$$: $$\begin{cases} x + y = 4,\\ x - y = 2. \end{cases}$$Складаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} x + y = 4,\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 6,\\ 2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_1 = 3,\\ y_1 = 1. \end{cases}$$$$x + y > 0, x - yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} x + y = 4,\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 2,\\ 2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_2 = 1,\\ y_2 = 3. \end{cases}$$$$x + yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} -x - y = 4,\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 6,\\ -2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_3 = -3,\\ y_3 = -1. \end{cases}$$$$x + y 0$$: $$\begin{cases} -(x + y) = 4,\\ x - y = 2. \end{cases}$$Складаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} -x - y = 4,\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 2,\\ -2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_4 = -1,\\ y_4 = -3. \end{cases}$$Відповідь. $$\{(3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3)\}.$$

Якою заміною доречно скористатись під час розв’язання системи рівнянь? $$\begin{cases}x^2-y^2=1, \\ x^2+y^2-2xy=1. \end{cases}$$ $$u=x^2, v=y^2$$ $$u=x^2-y^2, v=x^2+y^2$$ $$u=x+y, v=x-y$$ $$u=x^2+xy, v=y^2+xy$$