Лiнiйнi нерiвностi

Визначення Лінійна нерівність з однією змінною — це нерівність вигляду $$a\cdot x > b$$ або $$a\cdot x

Повернемося до нашого прикладу з мобільним зв’язком: Скільки Мб інтернет-трафіку може використати Сашко з бюджетом $$75$$ грн.? На це питання можна відповісти, розв’язавши нерівність

$$40 + 0,05x \leq 75$$

відносно змінної $$x$$. Метод розв’язання майже такий самий, як і для рівняння

$$40 + 0,05x = 75$$

Нашою метою є залишити $$x$$ «на самоті» в лівій частині:

$$ \begin{align} 40 + 0,05x & \le 75 \\ 40 + 0,05x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 & \le 75 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 \\ 0,05x & \le 35 \\ \dfrac{0,05}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5}x & \le \dfrac{35}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5} \\ x & \le 700 \end{align}$$

Вихідна нерівність Віднімаємо $$40$$ від обох частин Спрощуємо Ділимо обидві частини нерівності на $$0,05$$ Спрощуємо

Отже, на місяць, маючи $$75$$ грн і тариф «Шалений день», Сашко може витрачати $$700$$ МБ мобільного інтернету. Ми розпочали з нерівності $$40+0,05x\leq75$$ та перейшли до рівносильної нерівності $$x\leq700$$.

Алгоритм Pозв’язання лінійних нерівностей

  1. Спростити обидві частини нерівності.

  2. Зібрати всі доданки, що містять $$x$$ в одній частині нерівності (як правило лівій), а всі вільні доданки – в іншій.

  3. Розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $$x$$.

  4. Записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій.

Приклад

Розв’язати нерівність: $$3x Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Спрощувати тут вже нема чого, всі доданки з $$x$$ в лівій частині, вільні доданки – у правій. Переходимо відразу до пункту $$3$$: необхідно розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $$x$$ та спростити отриманий вираз.$$ \begin{align} 3x & \lt 8 \\ \dfrac{3}{3}x & \lt \dfrac{8}{3} \\ x & \lt \dfrac{8}{3} \end{align}$$Вихідна нерівність Ділимо обидві частини на $$3$$ СпрощуємоЄдине, що залишилось – записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій: Вiдповiдь. $$x \in (-\infty;\dfrac{8}{3})$$.

Приклад

Розв’язати нерівність: $$-2\leq2-4x$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Всі доданки з $$x$$ вже розміщені в правій частині, збираємо всі вільні доданки в лівій:$$ \begin{align} -2 & \le 2 - 4x \\ -2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \le 2 - 4x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\ -4 & \le -4x \end{align}$$Вихідна нерівність Віднімаємо $$2$$ від обох частин СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4} & \color{#1570bd}\ge \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4}x \\ 1 & \ge x \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$-4$$ та змінюємо знак нерівності на протилежний СпрощуємоТепер записуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій: Вiдповiдь. $$x \in (-\infty;1]$$.

Приклад

Розв’язати нерівність: $$5(x-1)>x+3$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Розкриваємо дужки та забираємо змінну $$x$$ в лівій частині нерівності:$$ \begin{align} 5(x-1) & \gt x + 3 \\ 5x - 5 & \gt x + 3 \\ 5x - 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x & \gt x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\ 4x - 5 & \gt 3 \\ \end{align}$$Вихідна нерівність Розкриваємо дужки в лівій частині Віднімаємо $$x$$ від обох частин СпрощуємоВсі вільні доданки залишаємо в правій частині нерівності:$$ \begin{align} 4x - 5 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 & \gt 3 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 \\ 4x & \gt 8 \\ \end{align}$$Додаємо $$5$$ до обох частин СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{4}{\color{#1570bd}4}x & \gt \dfrac{8}{\color{#1570bd}4} \\ x & \gt 2 \\ \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$4$$ СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій: Вiдповiдь. $$x \in (2;+\infty)$$.

Приклад

Розв’язати нерівність: $$\dfrac{(2x-1)^2}{4}-\dfrac{3(x-1)}{4} \geq x^2$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Розкриваємо дужки та спрощуємо вирази в лівій частині нерівності:$$ \begin{align} \dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4} & \ge x^2 \\ \color{#1570bd}4 \left(\dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4}\right) & \ge \color{#1570bd}4\color{#1570bd}(x^2\color{#1570bd}) \\ \dfrac{1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(2x-1)^2 - \dfrac{3 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(x-1) & \ge 4x^2 \\ (2x-1)^2 - 3(x-1) & \ge 4x^2 \\ (4x^2 - 4x + 1) - (3x-3) & \ge 4x^2 \\ 4x^2 - 7x + 4 & \ge 4x^2 \\ \end{align}$$Вихідна нерівність Множимо обидві частини на $$4$$ Розкриваємо дужки Спрощуємо Розкриваємо дужки СпрощуємоЗбираємо всі доданки зі змінною $$x$$ в лівій частині, а вільні доданки – в правій:$$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 & \ge 4x^2 - \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\ - 7x + 4 & \ge 0 \\ - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 & \ge 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 \\ - 7x & \ge -4 \\ \end{align}$$Віднімаємо $$4x^2$$ від обох частин Спрощуємо Віднімаємо $$4$$ від обох частин СпрощуємоДілимо на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{-7}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \thinspace x & \color{#1570bd}\le \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \\ x & \le \dfrac{4}{7} \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$-7$$ та змінюємо знак нерівності на протилежний СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій: Вiдповiдь. $$x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{7}\right]$$.

Розв'язати нерівність: $$4(x-2)>5(x-3)$$ $$x $$x>7$$ $$x $$x>-7$$

Розкриємо дужки і спростимо нерівність:

$$4x-8>5x-15$$

$$4x-5x>-15+8$$

$$-x>-7$$

Помножимо обидві частини нерівності на $$-1$$, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний:

$$x

Розв'язати нерівність: $$7x-1+4(x+3) $$x>\dfrac{11}{5}$$ $$x $$x>-\dfrac{11}{5}$$ $$xPозкриємо дужки і спростимо нерівність:$$7x-1+4x+12$$11x-6x$$5xПомножимо обидві частини нерівності на $$\dfrac{1}{5}$$:$$x