Основні властивості

Ці операції можна використовувати для виконання рівносильних переходів, що не змінюють множини розв’язків нерівності:

  1. Співвідношення «менше» і «більше» протилежні одне одному.

    Наприклад: якщо $$8 > x$$, то $$x

  2. Відношення транзитивності:

    • якщо $$x

    • якщо $$x>a$$ і $$a>b$$, то $$x>b$$.

    Наприклад: якщо $$x

  3. Розкрити дужки в будь-якій частині нерівності.

    Наприклад:

    $$ \begin{align} \color{#1570bd}(x-4\color{#1570bd})\color{#1570bd}(1-x\color{#1570bd}) & \ge 0 \\ \color{#1570bd}(x-4-x^2+4x\color{#1570bd}) & \ge 0 \\ -x^2 + 5x -4 & \ge 0 \end{align}$$

    Вихідна нерівність Розкриваємо дужки Спрощуємо

  4. Звести подібні доданки в будь-якій частині нерівності.

    Наприклад:

    $$ \begin{align} x^3 - 8 & \lt x^2 - 3x -x^2 \\ x^3 - 8 & \lt \color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 - 3x - \color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\ x^3 - 8 & \lt - 3x \end{align}$$

    Вихідна нерівність Знаходимо подібні доданки Спрощуємо

  5. До обох частин додати або ж відняти будь-який вираз.

    Наприклад:

    $$ \begin{align} \sqrt{x} - x + 3 & \gt 2 \\ \sqrt{x} - x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \gt 2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\ \sqrt{x} - x + 1 & \gt 0 \end{align}$$

    Вихідна нерівність Віднімаємо $$2$$ від обох частин Спрощуємо

  6. Обидві частини помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля:

    • Якщо вираз додатний – знак нерівності залишається без змін.

      Наприклад:

      $$ \begin{align} 3x^2 & \gt 2 \\ \dfrac{3}{\color{#1570bd}3}x^2 & \gt \dfrac{2}{\color{#1570bd}3} \\ x^2 & \gt \dfrac{2}{3} \end{align}$$

      Вихідна нерівність Ділимо обидві частини на $$3$$ Спрощуємо

    • Якщо вираз від’ємний – знак нерівності змінюється на протилежний.

      Наприклад:

      $$ \begin{align} -x^2 - 2 & \gt 1 \\ (-x^2-2) \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}(\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \lt 1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}(\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\ x^2 + 2 & \lt -1 \end{align}$$

      Вихідна нерівність Множимо обидві частини на $$-1$$ та змінюємо знак на протилежний Спрощуємо

Перехід до якої нерівності буде рівносильним для виразу $$(1+x)(x-3)>2$$? $$2x+5 $$-x^2+2x+5 $$(x-3)>+3$$ $$x^2+2x+5

Перехід до якої нерівності буде рівносильним для виразу $$(x-2)(x+3) $$-x^2-x+6>0$$ $$(x-6) $$x^2+6 $$6-x>x^2$$